Pro poloměr kružnice opsané trojúhelníku
platí
.
Označme
střed strany
.
Trojúhelník
je pravoúhlý s pravým
úhlem u vrcholu
.
Velikost úhlu
je
,
je-li
,
nebo
pro
.
V obou případech tedy platí
.
Zbývá uvážit pravoúhlý trojúhelník s pravým
úhlem u vrcholu
, strana
je průměrem kružnice
,
která je opsaná tomuto trojúhelníku.
Jinak řečeno
a
.
Za těchto předpokladů opět platí vztah
.
Další vyjádření pro poloměr kružnice opsané dostaneme cyklickou záměnou.
1.
V trojúhelníku je
,
, poloměr kružnice tomuto trojúhelníku opsané je
.
Vypočítejte délky stran trojúhelníku.
2.
Vypočítejte obvod trojúhelníku, který je vepsán do kružnice o poloměru
a jehož dva vnitřní úhly mají velikosti
a
.
Vyjdeme ze vzorce pro výpočet obsahu trojúhelníku ,
kde
je výška na stranu
.
Označme
patu kolmice výšky
.
1)
Je-li trojúhelník ostroúhlý, tedy
, pak
, tj.
a
tudíž
.
2)
Je-li trojúhelník pravoúhlý,
tedy
,
pak
tudíž
,
.
3)
Je-li trojúhelník tupoúhlý, tedy
,
pak
,
přičemž levá strana se dá upravit takto
(viz Vzorce pro goniometrické funkce).
Jestliže nyní dosadíme do původního vzorce, získáme vyjádření obsahu
.
Další vzorce dostaneme cyklickou záměnou.
1.
Vypočítejte obsah trojúhelníku
, jestliže
,
,
.
2.
Vypočítejte délky stran v trojúhelníku ,
jestliže
,
,
.
Pro obsah každého trojúhelníku
,
jehož strany mají délky
, platí
,
kde
.
Vyjdeme z předchozí věty pro výpočet obsahu trojúhelníku .
Vyjádříme pomocí goniometrického vzorce
a za
,
dosadíme vyjádření z věty o
polovičních úhlech , čili ,
,
kde
.
Po dosazení nám vyjde vztah .
Vypočítejte pomocí Heronova vzorce obsah trojúhelníku
o stranách
.
Nechť je obsah trojúhelníku
,
jehož strany mají délky
. Potom pro poloměr
kružnice opsané tomuto trojúhelníku platí
.
Tento vzorec vyplývá ze sinové věty a z dříve dokázaného vztahu ,
kde
je velikost vnitřního úhlu v
naproti straně
.
Jestliže dosadíme do vzorce
za
výraz
, dostaneme
.
Vypočítejte poloměr kružnice opsané trojúhelníku
a stranách
.
Nechť je obsah trojúhelníku
,
jehož strany mají délky
.
Potom pro poloměr
kružnice vepsané trojúhelníku
platí
,
kde
.
Nechť je střed kružnice vepsané
.
Protože se skládá ze 3 nepřekrývajících
se trojúhelníků
,
,
,
je jeho obsah
roven součtu obsahů těchto tří trojúhelníků, které mají stejnou výšku
, tj.
.
V trojúhelníku o stranách vypočítejte poloměr kružnice vepsané.