Goniometrické funkce ostrého úhlu

Definice. Je dán pravoúhlý trojúhelník s jedním vnitřním úhlem , jehož velikost je z intervalu . Definujme tyto goniometrické funkce:

je poměr délky protilehlé odvěsny k úhlu a délky přepony.
je poměr délky přilehlé odvěsny k úhlu a délky přepony.
je poměr délky protilehlé odvěsny k úhlu a délky přilehlé odvěsny.
je poměr délky přilehlé odvěsny k úhlu a délky protilehlé odvěsny.

Poznámka. Většinou užíváme následujícího značení .

Pro schematický zápis použijeme trojúhleník .

Odvození funkčních hodnot

Funkční hodnoty goniometrických funkcí pro různé velikosti úhlu najdeme v tabulkách nebo je vypočítáme pomocí kalkulačky, případně k jejich určení použijeme applet, který najdeme níže v této kapitole.
Předtím si ještě odvodíme funkční hodnoty pro úhly o velikostech , pro něž lze tyto hodnoty přesně určit.

A.
Je dán čtverec se stranou , pomocí Pythagorovy věty vypočítáme délku jeho úhlopříčky . Z vlastností čtverce víme, že úhlopříčka a strana svírají úhel o velikosti . Vyjádříme funkční hodnoty pro tento úhel :

B.
Je dán rovnostranný trojúhelník se stranou délky . Dle Pythagorovy věty vypočítáme výšku .

C.
Využijeme stejného rovnostranného trojúhelníku se stranou délky .

Tabulka

sinus
kosinus
tangens
kotangens

Výpočet velikosí úhlů a určení funkčních honot u goniometrických funkcí

>>nahoru<<

Poznámka. Tabulka s některými dalšími funkčními hodnotami je uvedena v kapitole Určování hodnot goniometrických funkcí. Na tomto místě nelze například odvodit funkční hodnoty pro nulový úhel, protože neexistuje trojúhelník, který by měl jeden úhel nulový.

Z předchozích výpočtů jsme si mohli všimnout následujících vztahů:

Stačí si uvědomit, že v pravoúhlém trojúhelníku platí: 

>>nahoru<<

Příklady

1. Pomocí kalkulačky vypočítejte s přesností na dvě desetinná místa sinus těchto úhlů .

2. Pro jaký úhel je jeho sinus roven ?

Je-li , neexistuje úhel, který by vyhovoval. Neboť funkce sinus je dána podílem dvou stran. V čitateli je délka odvěsny a ve jmenovateli je délka přepony. Délka přepony nemůže být delší než délka odvěsny, tudíž podíl (a tedy i sinus tohoto úhlu) je vždy menší než .
Pro je .
Pro je .

3. Pomocí kalkulačky vypočítejte s přesností na dvě desetinná místa kosinus těchto úhlů .

4. Pro jaký úhel je jeho kosinus roven ?

Pro je .
Pro je .

5. Pomocí kalkulačky vypočítejte s přesností na dvě desetinná místa tangens těchto úhlů .

6. Pro jaký úhel je jeho tangens roven ?

Pro je .
Pro je .

7. Pomocí kalkulačky vypočítejte s přesností na dvě desetinná místa kotangens těchto úhlů
.

8. Pro jaký úhel je jeho kotangens roven ?

a)



b)

9. Vypočtěte velikost úhlu , který svírají tečny vedené bodem ke kružnici , je-li .

Velikost úhlu je .

Z pravoúhlého trojúhelníka
vyjádříme úhel .

10. Dělostřelecká baterie je umístěna na útesu vysokém nad hladinou moře. Určete vzdálenost baterie od lodi, která je z útesu pozorována v hloubkovém úhlu .

Místo, kde je baterie označíme , loď a patu útesu . Hledaná vzdálenost je .

Trojúhelník je pravoúhlý s pravým úhlem u vrcholu .
U vrcholu je také úhel , jde o střídavé úhly.

11. V kosočtverci je a velikost úhlu je . Vypočítejte poloměr kružnice, která je tomuto kosočtverci vepsána.

Poloměr vypočítáme z pravoúhlého trojúhelníku, jehož přepona
je polovina úhlopříčky a odvěsna hledaný poloměr.

12. Mostní kruhový oblouk má rozpětí a výšku . Vypočtěte velikost příslušného středového úhlu .

Označíme bod jako střed kružnice, jejíž částí je daný mostní oblouk, jako body, ve kterých se most dotýká hladiny a bod jako střed úsečky .

Z pravoúhlého trojúhelníku vypočítáme nejprve
užitím Pythagorovy věty poloměr kruhového oblouku .

Dopočítáme úhel .

>>nahoru<<