Zvolíme kartézskou soustavu souřadnic,
tj. dvě na sebe kolmé číselné osy (osy
a
)
se společným počátkem
, přičemž na obou osách je
stejná délková jednotka. Vezměme bod
jako obraz čísla 1
na ose
. Nyní sestrojíme orientovaný úhel o
velikosti
s počátečním ramenem
. Ke každému reálnému číslu
lze přiřadit právě jeden výše popsaný orientovaný úhel
.
Tento orientovaný úhel se nazývá orientovaný úhel o velikosti
v základní poloze.
Sestrojíme jednotkovou kružnici (tj. kružnice,
kde
)
se středem
a označíme
její průsečík
s koncovým ramenem orientovaného úhlu
v základní poloze.
Bodem
vedeme kolmici k ose
, jejich průsečík je
na ose
obrazem reálného čísla
a dále
bodem
vedeme kolmici k ose
, jejich průsečík
je na ose
obrazem reálného čísla
.
O číslech
,
říkáme, že jsou první a druhou souřadnicí
bodu
a píšeme
.
Definice. Druhou souřadnici bodu
jednotkové kružnice na koncovém rameni orientovaného úhlu
v základní poloze nazýváme sinus
a jeho první souřadnici nazveme kosinus
.
Používáme značení ,
.Je tedy
,
, pro každé
.
Poznámka. Funkce sinus a kosinus jsou definovány pomocí jednotkové kružnice, proto jsou nezávislé na volbě délkové jednotky.
Uvedenými definičními vztahy je každému číslu přiřazeno
právě jedno reálné číslo
a právě jedno reálné číslo
,
tj. tyto vztahy udávají funkční předpisy funkce sinus
a funkce kosinus
,
se nazývá argument funkce.
Grafy funkcí sinus a kosinus argumentu
sestrojíme na základě jejich definice pomocí souřadnic bodů
jednotkové kružnice
se středem v počátku
kartézské soustavy souřadnic.
Graf funkce sinus se nazývá sinusoida a graf funkce
kosinus se nazývá kosinusoida . Přitom kosinusoida
je posunutá sinusoida o ve směru záporné poloosy
.
Definičním oborem funkcí sinus a kosinus je množina ,
proto na omezené nákresně můžeme zobrazit jen části jejich grafů.
Nejprve probereme podrobně každou vlastnost a na konci uvedeme shrnující tabulku.
Definiční obor obou funkcí je .
Neexistuje
, ke kterému
bychom nepřiřadili žádnou funkční hodnotu.
U obou funkcí to je interval .
Pro každé
je přímka
sečnou nebo tečnou jednotkové kružnice.
Získáme tak vždy alespoň jeden bod kružnice, jehož první (druhá) souřadnice
je hodnotou funkce
(
) pro
některé
.
Je-li , pak je přímka o rovnici
vnější přímkou kružnice
.
Z této vlastnosti funkce plyne také následující vlastnost.
Obě funkce jsou omezené zdola číslem a shora číslem
.
Tedy platí, že pro každé
je
a
.
Plyne to z jednotkové kružnice.
Funkce sinus má maximum v bodech
,
minimum
v bodech
,
kde
.
Funkce kosinus má maximum v bodech
,
minimum
v bodech
,
kde
.
Vše plyne z jednotkové kružnice.
Sinus je funce lichá a kosinus je funkce sudá.
Z definice liché funkce plyne .
Z definice sudé funkce plyne .
Tyto vlastnosti můžeme snadno ověřit pomocí
jednotkové kružnice. Obě funkce jsou definovány na
.
Také to můžeme poznat z grafů obou funkcí, graf funkce sinus je souměrný podle
počátku a graf funkce kosinus je souměrný podle osy
.
Obě jsou periodické, jejich nejmenší perioda je .
Tedy platí, že pro každé a pro každé
Například je to vidět z grafů funkcí nebo z
jednotkové kružnice.
Můžeme díky tomu zkoumat funkce a
na intervalu
a popíšeme tak jejich chování na celém
.
Funkce sinus je rostoucí v intervalech
a klesající v intervalech
,
kde
.
Funkce kosinus je rostoucí v intervalech
a klesající v intervalech
,
kde
.
Intervaly snadno určíme z grafů funkcí.
Funkce sinus jich nabývá v bodech , tj.
,
.
Funkce kosinus jich nabývá v bodech , tj.
,
.
Vyčteme to jednotkové kružnice.
Ty určíme nejlépe z grafů, jinak je lze vypočítat z příslušných goniometrických nerovností.
Funkce sinus má kladné hodnoty v intervalech
a záporné hodnoty v intervalech
,
.
Funkce kosinus má kladné hodnoty v intervalech
a záporné hodnoty v intervalech
,
.
Nejlépe je to vidět z grafů funkcí.
![]() |
![]() |
|
---|---|---|
Definiční obor funkce ![]() |
![]() |
![]() |
Obor hodnot | ![]() |
![]() |
Sudost,lichost funkce | lichá funkce | sudá funkce |
Periodičnost funkce | periodická s periodou ![]() nejmenší perioda je ![]() |
periodická s periodou ![]() nejmenší perioda je ![]() |
Omezenost, neomezenost funkce |
omezená funkce | omezená funkce |
Intervaly, v nichž je funkce rostoucí |
![]() |
![]() |
Intervaly, v nichž je funkce klesající |
![]() |
![]() |
Maximum funkce v bodě | ![]() ![]() |
![]() ![]() |
Minimun funkce v bodě | ![]() ![]() |
![]() ![]() |
Body,ve kterých jsou funční hodnoty nulové ( ![]() |
![]() |
![]() |
Body,ve kterých jsou funční hodnoty kladné ( ![]() |
![]() |
![]() |
Body,ve kterých jsou funční hodnoty záporné ( ![]() |
![]() |
![]() |
Čísla patřící do oboru hodnot jsou
Výsledkem jsou hodnoty
2.
Existuje , pro něž je
?
3. Dokažte, že platí:
a)4.
Do kterého z intervalů ,
,
,
patří
, pro něž je
a) a zároveň
Výsledkem je interval .
Výsledkem je interval .
5.
Vypočítejte:
Najdeme je v kapitole Goniometrické funkce ostrého úhlu
=
6.
Určete pomocí jednotkové kružnice všechna , pro která platí:
a)
7.
Zapište množinu všech , pro která platí:
a) a zároveň
Použijeme jednotkovou kružnici.
platí pro
platí pro
b) a zároveň
platí pro
platí pro
,
8.
Určete definiční obory těchto funkcí:
a)