Funkce tangens a kotangens

Nyní se budeme zabývat dalšími dvěma goniometrickými funkcemi tangens (značka tg) a kotangens (značka cotg).
Definice. Funkcí tangens argumentu se nazývá funkce, která je dána vztahem .Definičním oborem fununkce tangens je množina .

Funkci kotangens definujeme vztahem . Definičním oborem funkce kotangens je množina .

Poznámka. Každému přípustnému z definičního oboru je přiřazeno právě jedno reálné číslo a právě jedno reálné číslo . Musíme si dát ovšem pozor na to, že tyto funkce mají různé definiční obory.

V kapitole Goniometrické funkce ostrého úhlu jsme se již s těmito funkcemi setkali a zjistili jsme, že tangens ostrého úhlu byl dán podílem délek stran v pravoúhlém trojúhelníku a to odvěsny protilehlé a přilehlé. Podobně kotangens, kde šlo o převrácený podíl délek zmíněných stran. Při podrobném zkoumání jsme si mohli všimnout, že tyto funkce lze vyjádřit pomocí podílu funkcí sinus a kosinus.

>>nahoru<<

Grafy funkcí tangens a kotangens argumentu sestrojíme opět na základě jejich definice pomocí souřadnic bodů jednotkové kružnice.
Nechť bod jednotkové kružnice je přiřazen k číslu (velikosti úhlu ). Patu kolmice vedené tímto bodem k ose značíme . V bodech sestrojme tečny kružnice které jsou rovnoběžné po řadě se souřadnicovými osami , .
Přímka protne tyto tečny po řadě v bodech . Z podobnosti trojúhelníků a plyne , že , , takže je , .
Z toho plynoucí konstrukce grafů funkcí tangens a kotangens jsou naznačeny v apletu.

Graf funkce tangens se nazývá tangentoida a graf funkce kotangens se nazývá kotangentoida. Oba grafy jsou zřejmě navzájem symetrické ("překlopené") podle os souměrnosti rovnoběžných s osou a procházející body , kde .

Protože definičními obory funkcí tangens a kotangens jsou sjednocení nekonečně mnoha otevřených intervalů, můžeme na omezené nákresně zobrazit jen části jejich grafů.

>>nahoru<<

Vlastnosti funkcí tangens a kotangens

Vlastnosti nejprve odvodíme, přičemž k tomu použijeme jejich definiční vztahy nebo využijeme vlastností funkcí sinus a kosinus. Potom tyto vlastnosti jako u funkcí sinus a kosinus shrneme do tabulky.

Definičním oborem funkce je množina všech , pro něž , kde .

Hledáme takovou množinu všech reálných čísel , pro kterou má smysl výraz . Čili jde nám o to vyloučit taková , pro něž je . V intervalu jsou to čísla , . Protože víme, že funkce kosinus je periodická, tak nulovou funkční hodnotu získáme pro čísla , kde je libovolné celé číslo.
Sjednocení intervalů, ve kterých je funkce tangens definována, je .

Definičním oborem funkce je množina všech , pro něž , kde .

Hledáme takovou množinu všech reálných čísel , pro kterou má smysl výraz . Čili jde nám o to vyloučit taková , pro něž je . V intervalu jsou to čísla . Protože víme, že funkce sinus je periodická, tak nulovou funkční hodnotu získáme pro čísla , kde je libovolné celé číslo.
Sjednocení intervalů, ve kterých je funkce kotangens definována, je .

Obor hodnot u obou funkcí je .
Tato vlastnost plyne z jednotkové kružnice.

Funkce tangens a kotangens jsou obě funkce liché.
Pro každé reálné číslo , kde , platí .
A pro každé reálné číslo , kde , platí .
Jednoduše to odůvodníme následujícími rovnostmi.
Pro každé platí

a pro každé platí .
Tyto vlastnosti můžeme ověřit z grafů obou funkcí, tyto grafy jsou souměrné podle počátku.

Obě tyto funkce jsou periodické se základní periodou .
Platí:
,
, kde .
Poznámka. Díky periodičnosti nemusíme zkoumat tyto funkce na celém definičním oboru, ale stačí je vzít na intervalech. U funkce tangens se omezíme na interval , u funkce kotangens na interval .
Tato vlastnost je zřejmá z grafů obou funkcí.

Ani jedna z funkcí není omezená.
Tato vlastnost je důsledkem již uvedeného oboru hodnot.

Ani jedna z nich nemá ani maximum ani minimum.
Toto je přímým důsledkem předchozí vlastnosti.

Funkce tangens je rostoucí na každém intervalu , (nelze však říci, že je rostoucí na celém definičním oboru!) a nikde není klesající.
Obdobně funkce kotangens je klesající na každém intervalu , .

Nulové funkční hodnoty získáme z rovnic , .
U funkce tangens jsou to body , pro které platí , tj. ,
U funkce kotanges jsou to body , pro které platí , tj. , .

Ty vyčteme nejlépe z grafu, jinak je lze vypočítat z příslušných goniometrických nerovností.
Funkce tangens má kladné funkční hodnoty v intervalech a záporné v intervalech , .

Funkce kotangens má kladné funkční hodnoty v intervalech a záporné v intervalech , .

Tabulka

Písmeno v tabulce označuje celé číslo.

Definiční obor funkce
Obor hodnot
Sudost,lichost funkce	lichá funkce	lichá funkce
Periodičnost funkce	periodická s periodou nejmenší perioda je	periodická s periodou nejmenší perioda je
Omezenost, neomezenost funkce	neomezená funkce	neomezená funkce
Intervaly, v nichž je funkce rostoucí		neexistují
Intervaly, v nichž je funkce klesající	neexistují
Maximum funkce v bodě	neexistuje	neexistuje
Minimun funkce v bodě	neexistuje	neexistuje
Body,ve kterých jsou funční hodnoty nulové ()
Body,ve kterých jsou funční hodnoty kladné ()
Body,ve kterých jsou funční hodnoty záporné ()

Poznámka. Goniometrické funkce definované v těchto dvou kapitolách odpovídají dříve definovaným funkcím v kapitole Goniometrické funkce ostrého úhlu

>>nahoru<<

Příklady

1. Z jednotkové kružnice zjistěte, zda výrazy , jsou pro dané číslo kladné, záporné nebo nulové.
a)

Základní velikost tohoto úhlu je .

Uvědomíme si, co platí funkční hodnoty.

Výraz je kladný a je také kladný.

b)
    Základní velikost tohoto úhlu je .

Porovnáme funkční hodnoty tangens a kotangens.

Funkční hodnoty jsou stejné.
Platí , tedy výraz je kladný.

Dále platí , tedy výraz je roven .

2. Zjistěte, zda platí:
a)

b) Kotangens je funkce lichá.



c) Načrtneme si tyto úhly do jednotkové kružnice, najdeme funkční hodnoty pro tangens.
     Tyto funkční hodnoty se nerovnají, takže rovnost neplatí.

3. Vypočítejte .

4. Určete definiční obory těchto funkcí
a)

b) .
,

5. Vypočítejte .

Jelikož máme vypočítat součin, tak nám toto zjištění stačí k určení výskledku.

>>nahoru<<