Pro každý trojúhelník , jehož vnitřní úhly mají velikosti
a strany délky
,
platí
.
Poznámka. Další vzorce vyplývají z principu cyklické záměny. Jsou
to tyto:
Sinovou větu můžeme také vyjádřit ve tvaru ,
tj. poměr délek dvou stran v trojúhelníku se rovná poměru velikostí sinů protilehlých úhlů
k těmto stranám.
1) Úhel je ostrý, tj.
.
Nalezneme bod , který je patou kolmice
spuštěné z vrcholu
na stranu
.
Vyjádříme velikost strany pomocí úhlu
,
,
a poté pomocí úhlu ,
.
Nyní porovnáme výše uvedené vztahy ,
tj.
.
Tudíž .
2) Úhel je pravý, tj.
.
Bod , který je patou kolmice nám splyne s bodem
.
Důkaz provedeme obdobně, ale musíme si uvědomit, že
( viz Určování hodnot
goniometrických funkcí).
Vyjáříme také velikost úsečky nejprve pomocí
úhlu
,
,
a potom pomocí úhlu ,
.
Závěrem získáme rovnost .
3) Úhel je tupý, tj.
.
Také nejprve nalezneme bod a vyjádříme velikost
úsečky
dvojím způsobem
.
Musíme si uvědomit, že platí rovnost
( viz Vzorce pro goniometrické funkce.)
Nakonec opět porovnáme obě vyjádření a vyjde nám vztah
.
Cyklickou záměnou dostaneme další vyjádření. Tím je důkaz u konce.
1.
Určete velikosti všech vnitřních úhlů a stran v trojúhelníku ,
jestliže
,
,
.
2.
Trojúhelník má strany
,
a
velikost úhlu
.
Vypočítejte velikosti ostatních úhlů a strany.