Tangentová věta

V každém trojúhelníku , jehož vnitřní úhly mají velikosti a strany délky , platí .

Poznámka. Další vyjádření tangentové věty dostaneme cyklickou záměnou. Jsou to vzorce:

Důkaz

K důkazu použijeme sinovou větu a vzorce pro goniometrické funkce .

>>nahoru<<

Věta o polovičních úhlech

V každém trojúhelníku , jehož vnitřní úhly mají velikosti a strany délky , platí




, kde .

Důkaz

Nejprve vyjádříme (viz Vzorce pro goniometrické funkce)


Dále z kosinové věty vyjádříme

a dosadíme do předchozích vyjádření

.

Jestliže označíme , potom pro trojčleny v čitatelích zlomků plyne





Po dosazení těchto čitatelů dostáváme , .

Nyní oba vztahy odmocníme (to můžeme udělat, neboť neexistuje trojúhelník s nulovým nebo záporným úhlem a tudíž , , také ) a dostaneme vztahy, které jsme chtěli dokázat.
>>nahoru<<

Příklady

Pomocí tangentové věty dopočítejte v trojúhelníku velikosti ostatních úhlů, jestliže .

2. V trojúhelníku , kde , ,, vypočítejte pomocí tangentové věty délku strany .

3. Vypočítejte velikosti vnitřních úhlů v trojúhelníku , se stranami , které mají po řadě délky . Použijte větu o polovičních úhlech.

Pro ukázku používám všechny funkce (stačí použít jednu).

>>nahoru<<