Tangentová věta
V každém trojúhelníku
, jehož vnitřní úhly mají velikosti
a strany délky
,
platí
.
Poznámka. Další vyjádření tangentové věty dostaneme cyklickou záměnou.
Jsou to vzorce:
![](../Obr/Tan_v/tangentovaveta2.png)
Důkaz
K důkazu použijeme sinovou větu
a vzorce pro goniometrické funkce .
![](../Obr/Dukazy_trig/dtv1.png)
![](../Obr/Dukazy_trig/dtv3.png)
![](../Obr/Dukazy_trig/dtv4.png)
>>nahoru<<
Věta o polovičních úhlech
V každém trojúhelníku
![](../Obr/Tan_v/ABC.png)
, jehož vnitřní úhly mají velikosti
![](../Obr/Sin_v/abg.png)
a strany délky
![](../Obr/Dal_trig_v/a,b,c.png)
,
platí
![](../Obr/Tan_v/vopoluhl3.png)
, kde
![](../Obr/Tan_v/polovinaobvodu.png)
.
Důkaz
Nejprve vyjádříme
(viz Vzorce pro goniometrické funkce)
![](../Obr/Dukazy_trig/dvopu2.png)
Dále z kosinové věty vyjádříme ![](../Obr/Dukazy_trig/dvopu3.png)
a dosadíme do předchozích vyjádření ![](../Obr/Dukazy_trig/dvopu4.png)
.
Jestliže označíme
,
potom pro trojčleny v čitatelích zlomků plyne
![](../Obr/Dukazy_trig/dvoup10.png)
![](../Obr/Dukazy_trig/dvopu11.png)
![](../Obr/Dukazy_trig/dvopu12.png)
![](../Obr/Dukazy_trig/dvopu13.png)
Po dosazení těchto čitatelů dostáváme
,
.
Nyní oba vztahy odmocníme (to můžeme udělat, neboť neexistuje
trojúhelník s nulovým nebo záporným úhlem a tudíž
,
, také
) a dostaneme vztahy, které jsme chtěli dokázat.
>>nahoru<<
Příklady
1.
Pomocí tangentové věty dopočítejte v trojúhelníku
![](../Obr/Tan_v/RST.png)
velikosti ostatních úhlů, jestliže
![](../Obr/Tan_v/r015,t027.png)
.
![](../Obr/Tan_v/roplustau.png)
![](../Obr/Tan_v/rominustau1.png)
![](../Obr/Tan_v/rominustau2.png)
![](../Obr/Tan_v/rominustau3.png)
![](../Obr/Tan_v/roplustau2.png)
![](../Obr/Tan_v/ro234.png)
![](../Obr/Tan_v/tau4557.png)
2.
V trojúhelníku
, kde
,
,
, vypočítejte
pomocí tangentové věty délku strany
.
![](../Obr/Tan_v/tangent1.png)
![](../Obr/Tan_v/tangent2.png)
![](../Obr/Tan_v/tangent3.png)
![](../Obr/Tan_v/tangent4.png)
3.
Vypočítejte velikosti vnitřních úhlů v trojúhelníku
![](../Obr/Tan_v/ABC.png)
,
se stranami
![](../Obr/Dal_trig_v/a,b,c.png)
, které mají po řadě délky
![](../Obr/Tan_v/16,21,8.png)
. Použijte větu o polovičních úhlech.
![](../Obr/Tan_v/polovicniobvod1.png)
![](../Obr/Tan_v/polovicniobvod2.png)
![](../Obr/Tan_v/polovicniobvod3.png)
![](../Obr/Tan_v/polovicniobvod4.png)
![](../Obr/Tan_v/sinalfa1pul.png)
![](../Obr/Tan_v/cosalfa1pul.png)
![](../Obr/Tan_v/tgalfa1pul.png)
![](../Obr/Tan_v/alfa1pul.png)
![](../Obr/Tan_v/alfa1pul2.png)
![](../Obr/Tan_v/alfa1pul3.png)
![](../Obr/Tan_v/alfa11.png)
![](../Obr/Tan_v/alfa12.png)
>>nahoru<<