Základní vlastnosti
Základní vlastnosti paraboly
V této kapitole odkryjeme několik základních vlastností, které parabola má. Budeme se zabývat opravdu jen základními vlastnostmi. Rozšířením této kapitoly bude kapitola Tečny a normály paraboly a Ohniskove vlastnosti paraboly, jež bude navazovat na informace a látku probranou právě zde.
Základní důležitou vlastností paraboly je, že každý bod na ní ležící má stejnou vzdálenost od ohniska jako od řídicí přímky. Neboli, že průvodiče daného bodu jsou shodné (mají stejnou délku). Přesně toto říká definice. Ovšem, pokud budeme na parabole hledat bod, jehož průvodič má délku x \; (x > \frac {p} {2}), zjistíme, že takové body jsou právě dva. Navíc tyto body, označme je X, \, X', budou osově souměrné podle osy paraboly o.
Body X, \, X' bychom sestrojili následovně (viz obrázek P2.1): množinou všech bodů vzdálených x od řídicí přímky d tvoří dvě přímky l, \, l' s d rovnoběžné a vzdálené o x (všechno jsou to přímky kolmé na o); množinou všech bodů vzdálených x od ohniska F je kružnice k se středem v ohnisku a poloměrem x. Průnikem těchto dvou množin jsou dva body X, \, X' - body paraboly. Leží na jedné z rovnoběžek s d (na l), přičemž oba leží v opačných polorovinách určených osou o. Body X i X' mají shodnou vzdálenost od ohniska F. Označme O průsečík přímky l a osy o. Stačí už jen dokázat, že |XO| = |OX'|. Protože F \in o a přímka l je kolmá na osu o, můžeme říci, že trojúhelníky FOX a FOX' jsou shodné. Tím pádem i vzdálenosti |XO| a |X'O| se rovnají.
Připomínáme, že jsme volili průvodiče délky x > \frac {p} {2}. Při volbě x = \frac {p} {2}, bychom dostali pouze jeden bod paraboly, a to vrchol V. Zároveň se jedná o samodružný bod osové souměrnosti (bodů paraboly) s osou o. Při volbě x < \frac {p} {2} žádné body nezískáme.
Obrázek P2.1: Osová souměrnost paraboly
Věta P2.1: Parabola je souměrná podle jedné osy. Jedná se o osu paraboly.
V apletu P2.1 je předvedena osová souměrnost bodů ležících na parabole. Budete-li měnit polohu červeného bodu X (posouvat ho po parabole), bude se náležitě (podle osové souměrnosti s osou o) měnit obraz tohoto bodu, modrý bod X'. V apletu jsou navíc zobrazeny průvodiče bodů X, \, X' a jejich aktuální délky. Při pohybu se můžete přesvědčit, že jsou shodné
Aplet P2.1: Osová souměrnost paraboly
Tvar paraboly zavisí jen na jedné konstantě, na parametru p (p= |Fd|). Čím větší parametr, tím je parabola rozevřenější, širší. Naopak, pokud je parametr menší, je parabola užší. V apletu P2.2 máte možnost měnit parametr p posouváním ohniska F (po ose o) blíž nebo dál od řídicí přímky d.Sledujte při tom, jak se tvar paraboly mění.
Aplet P2.2: Parametr p \, určuje tvar paraboly
Pro libovolný bod M roviny E_2 a jeho průvodiče platí jedna ze tří variant:
a) |MF| < |Md|,
b) |MF| = |Md|, nebo
c) |MF| > |Md|,
Body splňující a) (resp. c))se nazývají vnitří body (resp. vnější body) paraboly. Body, pro které platí b) jsou podle definice body paraboly.
Parabola rozděluje rovinu na dvě disjunktní oblasti: vnitřní a vnější. Vnitřním (vnějším) bodem paraboly tedy rozumíme bod vnitřní (vnější) rovinné oblasti ohraničené danou parabolou. Ohnisko je vnitřním bodem paraboly, body řídicí přímky d jsou vnějšími body. Na obrázku P2.1 je vnitřní oblast paraboly vybarvená zeleně.
Parabola a její vnitřní body tvoří konvexní útvar. (Konvexní útvar viz Základní vlastnosti elipsy.)
Vnějším úhlem průvodičů bodu K paraboly rozumíme ten z úhlů průvodičů, v němž leží průsečík řídicí přímky d a osy o paraboly. Na obrázku P2.2 je průsečík pojmenován O. Vnějším úhlem je také příslušný vrcholový úhel. Úhly vedlejší k vnějším úhlům jsou vnitřní úhly průvodičů (na obrázku P2.2 jsou vyznačeny barevně).
Obrázek P2.2: Vnitřní oblast a průvodiče paraboly
