Základní vlastnosti


Základní vlastnosti elipsy


V této kapitole odkryjeme několik základních vlastností, které elipsa má. Budeme se zabývat opravdu jen základními vlastnostmi. Rozšířením této kapitoly budou kapitoly Tečny a normály elipsy a Ohniskové vlastnosti elipsy, jež bude navazovat na informace a látku probranou právě zde.

První důležitou vlastností je, že libovolný bod ležící na elipse má konstantní součet vzdáleností od ohnisek roven 2a > 0. Na tom je samozřejmě postavena definice elipsy. Nicméně z toho vyplyne několik dalších vlastností.

Zvolme nyní libovolně bod X \in k_e. Zvolme ho tak, aby ležel "nad" hlavní osou elipsy. Označíme-li x_1 vzdálenost bodu X od ohniska F_1 a x_2 vzdálenost bodu X od druhého ohniska F_2, potom zajisté body X' a X'', pro které platí: |X'F_1| = |X''F_1| = x_2, |X'F_2| = |X''F_2| = x_1, bod X' leží "nad" o_1, bod X'' "pod" o_1, budou také součástí elipsy. Navíc platí, že bod X' je s bodem X osově souměrný podle vedlejší osy o_2. Protože bod X byl zvolen libovolně, mohli jsme si vybrat jakýkoliv bod elipsy, můžeme konstatovat, že elipsa je osově souměrná podle vedlejší osy o_2. Bod X'' je středově souměrný s bodem X podle středu S. Můžeme tedy opět říci, že elipsa je středově souměrná podle středu S.
Vraťme se ještě ke zvolenému bodu X. Bod, jenž má vzdálenost x_1 od ohniska F_1 a vzdálenost x_2 od druhého ohniska F_2 existuje na elipse ještě jeden (leží "pod" hlavní osou elipsy). A zřejmě platí, že tento bod je osově souměrný s původním bodem X podle hlavní osy o_1. Elipsa je tedy také osově souměrná podle hlavní osy o_1.

Vše popisované je znázorněno na obrázku E2.1.

Obrázek E2.1: Souměrnosti elipsy

zakladniE.png, 68kB
Pokud bychom vše měli shrnout, můžeme vyslovit tvrzení:

Věta E2.1: Elipsa je souměrná podle dvou na sebe kolmých os. Jedná se o hlavní a vedlejší osu elipsy. Je také souměrná podle jejich průsečíku, středu.


V apletu E2.1 si můžete vyzkoušet, výše popsané vlastnosti. Budete-li hýbat body X_1, X_2, X_3 po elipse, budou se též body X'_1, X'_2, X'_3 souměrně sdružené pohybovat po elipse.

Aplet E2.1: Souměrnosti elipsy

This is a Java Applet created using GeoGebra from www.geogebra.org - it looks like you don't have Java installed, please go to www.java.com

Vrátíme-li se opět k definici elipsy a za libovolný bod zvolíme jeden z vedlejších vrcholů, např. C, ze souměrnosti elipsy bude platit: |F_1C| = |CF_2|. Z |F_1C| + |CF_2| = 2a vyplývá, že |F_1C| = |CF_2| = a. Jinými slovy, délku hlavní poloosy představuje taktéž úsečka F_1C nebo CF_2. Vyznačíme-li v elipse délku vedlejší poloosy jako úsečku F_1C, objeví se v elipse pravoúhlý trojúhelník F_1SC s přeponou F_1C délky a, viz aplet E2.2. Odvěsna CS má délku b a F_1S délku e. Takovému trojúhelníku se často říká charakteristický trojúhelník elipsy. Je patrné, že excentricita e a délky poloos a, b jsou vázány vztahem: a^2 = b^2 + e^2 (využitím Pythagorovy věty). Odtud také plyne a > b, a > e.

Věta E2.2: Pro délku hlavní a vedlejší poloosy elipsy (a, b) a excentricitu e platí vztah (Pythagorova věta): a^2 = b^2 + e^2.

Délka hlavní a vedlejší poloosy a excentricita, dá se říci charakteristický trojúhelník udává v podstatě tvar elipsy. V apletu E2.2 si můžete vyzkoušet, jak jednotlivé parametry mění výsledný tvar elipsy. Pohybujte ohnisky po ose o_1, tím budete měnit e a také velikost a. Zkuste pohybovat i vedlejším vrcholem C po o_2, čímž budete měnit velikost b a a.

Aplet E2.2: Charakteristický trojúhelník a tvar elipsy

This is a Java Applet created using GeoGebra from www.geogebra.org - it looks like you don't have Java installed, please go to www.java.com

Pro průvodiče MF_1, MF_2 libovolného bodu M roviny E_2 platí buď
a) |MF_1| + |MF_2| < 2a ,
b) |MF_1| + |MF_2| = 2a, nebo
c) |MF_1| + |MF_2| > 2a,
přičemž podmínka b) platí právě pro body elipsy (určené ohnisky F_1, F_2 a délkou hlavní poloosy a). Body roviny, které mají vlastnost a), nazýváme vnitřní body elipsy, body, pro které platí c), jsou vnější body elipsy. Dá se dokázat, že uvedené označení souhlasí s názornou představou rozdělení roviny elipsou na dvě disjunktní oblasti: vnitřní a vnější. Vnitřním (vnějším) bodem elipsy tedy rozumíme bod vnitřní (vnější) rovinné oblasti ohraničené danou elipsou. Ohnisko a střed jsou vnitřní body elipsy. (čerpáno z: Urban [13] str. 35)
Leží-li dva různé body M, N na elipse nebo ve vnitřní oblasti elipsy platí, že, potom i všechny body úsečky MN leží ve vnitřní oblasti či na elipse. Proto můžeme říci, že elipsa a její vnitřní body tvoří konvexní útvar.

Na obrázku E2.2 je vyznačena zeleně vnitřní oblast elipsy a elipsa. Vnitřními body jsou body: L, F_1, F_2, S; M je vnějším bodem elipsy a bod K leží přímo na elipse. Na obrázku jsou ještě vyznačeny průvodiče bodu K. Ze čtyř úhlů, které tvoří průvodiče tohoto bodu, vždy jeden obsahuje S - střed elipsy. Úhel tvořený polopřímkami KF_1, KF_2, který obsahuje střed, a příslušný vrcholový úhel se nazývají vnitřní úhly průvodičů. Na obrázku jsou tyto úhly vyznačeny barevně. Úhly vedlejší k vnitřním úhlům se nazývají vnější úhly průvodičů bodu elipsy.

Obrázek E2.2: Vnitřní oblast a průvodiče elipsy

zakladniE2.png, 71kB