Ohniskové vlastnosti
Ohniskové vlastnosti elipsy
Navážeme nyní na předchozí kapitolu Tečny a normály elipsy a rozšíříme informace o vlastnostech ohnisek a tečen elipsy.
Pro body souměrně sdružené s jedním z ohnisek podle tečen elipsy platí věta:
Věta E4.1: Všechny body Q_1 (resp. Q_2) souměrně sdružené podle tečen elipsy s ohniskem F_1 (resp. F_2) leží na řídicí kružnici d_2 (resp. d_1), která je opsaná z druhého ohniska F_2 (resp. F_1) a má poloměr 2a.
Tedy: Q_1 \in d_2(F_2; \, 2a) , resp. Q_2 \in d_1(F_1; \, 2a).
Důkaz: (aplet E4.1) V důkazu se budeme odvolávat na již dokázané, především na větu E3.2.
Zvolme libovolně bod T \in k_e. Sestrojme tečnu t v bodě T. K jednomu z ohnisek, např. k F_1, najděme souměrně sdružený bod Q_1 podle tečny t. Z definice elipsy platí: |F_1T| + |F_2T| = 2a. Ze souměrnosti podle tečny platí: |F_1T| = |Q_1T| (viz věta E3.2). Tedy: |Q_1T| + |F_2T| = 2a, a protože body Q_1, \, T, \, F_2 jsou kolineární (viz věta E3.2), platí rovnost |Q_1F_2| = 2a. Bod T jsme volili tak, aby ležel kdekoliv na elipse. Pokud bychom tedy bodem T "posouvali" po elipse k_e, ohnisko F_2 by samozřejmě zůstávalo na místě, ale bod Q_1 by se pohyboval po kružnici se středem F_2 o poloměru 2a, což jsme právě dokázali.
Analogicky |Q_2F_1| = 2a.
Budete-li v apletu E4.1 posouvat červeně vyznačeným bodem T po elipse k_e, bude se měnit červeně vyznačená tečna elipsy t a také bod Q_1 - souměrně sdružený s ohniskem F_1. Sledujte, že opravdu při tomto pohybu opisuje bod Q_1 řídicí kružnici d_2(F_2; \, 2a).
Aplet E4.1: Řídicí kružnice elipsy
Při konstrukcích může nastat situace, kdy známe tečnu elipsy t, známe i její ohniska F_1, \, F_2, přesto nevíme, kde přesně je bod dotyku T tečny a elipsy. Zde využijeme výše zmiňovanou kolinearitu bodů F_2, \, T, \, Q_1 (resp. F_1, \, T, \, Q_2). Dotykový bod T leží na spojnici bodu Q_1 (resp. Q_2) souměrně položeného dle tečny k ohnisku F_1 (resp. F_2) s druhým ohniskem F_2 (resp. F_1).
Tedy: T \in t \cap Q_1F_2 nebo T \in t \cap Q_2F_1.
Dalšími důležitými body jsou paty kolmic vedených z ohnisek elipsy k jejím tečnám. Pro takové body platí věta:
Věta E4.2: Paty P_1, \, P_2 všech kolmic sestrojených z ohnisek elipsy F_1, \, F_2 na tečny této kuželosečky leží na vrcholové kružnici v, která má střed ve středu elipsy S a má poloměr délky hlavní poloosy a.
Tedy: P_1 \in v(S; \, a), resp. P_2 \in v(S; \, a).
Důkaz: (aplet E4.2) V důkazu budeme využívat předchozí větu E4.1 a větu E3.2.
Zvolme libovolně bod T \in k_e, ovšem mimo hlavní vrcholy A, \, B elipsy k_e. Sestrojme tečnu t v bodě T. K jednomu z ohnisek, např. k F_1, najděme souměrně sdružený bod Q_1 podle tečny t a také patu P_1 kolmice sestrojené z tohoto ohniska na tečnu. Nepochybně platí P_1 \in t \cap Q_1F_1. Všimněme si trojúhelníku Q_1F_1F_2. Bod S je středem strany F_1F_2 a bod P_1 je středem F_1Q_1. Tudíž spojnice SP_1 je střední příčkou v tomto trojúhelníku, platí tedy: |SP_1| = \frac {|Q_1F_2|} {2} = a.
Tato rovnost platí pro všechny body elipsy mimo hlavní vrcholy. V případě, že bod dotyku T zvolíme v jednom z hlavních vrcholů A či B, potom pata kolmice P_1 s nimi taktéž splývá. Tedy A = T = P_1 či B = T = P_1. Vzdálenost |P_1S| je proto rovna vzdálenosti |AS| = a či |BS| = a.
Tudíž pro paty kolmic ke všem tečnám elipsy k_e platí: |SP_1| = a. Jinými slovy můžeme říci, že paty kolmic P_1 leží na kružnici v(S; \, a).
Analogicky pro P_2.
Budete-li v apletu E4.2 posouvat červeně vyznačeným bodem T po elipse k_e, bude se měnit červeně vyznačená tečna elipsy t a také bod P_1 - pata kolmice sestrojené z ohniska F_1. Sledujte, pohyb bodu P_1, ten bude opisovat vrcholovou kružnici v(S; \, a).
Aplet E4.2: Vrcholová kružnice elipsy
Pro lepší představivost o popsaných ohniskových vlastnostech elipsy je zde aplet E4.3. V něm jsou obě výše uvedené věty předvedeny v praxi. Vyznačeny jsou oba body Q_1, \, Q_2 souměrně sdružené s ohnisky F_1, \, F_2 podle tečny t. Stejně tak jsou zde i paty kolmic P_1, \, P_2. Pohybujte dotykovým bodem T po elipse k_e, sledujte trajektorie bodů Q_1, \, Q_2, \, P_1, \, P_2 .
Aplet E4.3: Vrcholová a řídicí kružnice elipsy
V případě, že je dána elipsa pomocí F_1, \, F_2, \, a a bod T, o kterém a nevíme, zda-li náleží elipse, použijeme větu E4.3. (čerpána z Kopřivová [8] str.30)
Věta E4.3: Bod T leží na elipse právě tehdy, pokud kružnice l_1(T; \, |TF_1|) (resp. l_2(T; \, |TF_2|)) se dotýká řídicí kružnice d_2(F_2; \, 2a) (resp. d_1(F_1; \, 2a)).
Věta E4.3 je vlastně jinou definicí kuželosečky. Důkaz je snadný. Je jen potřeba si uvědomit, že bod dotyku kružnic je bod Q_1 či Q_2 (bod souměrně sdružený s jedním z ohnisek podle tečny v bodě T), tudíž |Q_1T| = |F_1T|. Po té se dostaneme k definici elipsy.
Popsanou vlastnost si vyzkoušejte v apletu E4.4. Pohybem dotykového bodu T po elipse k_e se mění kružnice l_1. Řídicí kružnice d_2 se nemění, a přesto obě kružnice l_1 a d_2 mají jen jeden společný bod, bod Q_1.
Aplet E4.4: Věta E4.3