Oskulační kružnice
Hyperoskulační kružnice elipsy
Konstrukce oskulačních kružnic elipsy v jejích vrcholech není složitá. Odkrokovaný postup najdete v apletu E8.1, kde si ho můžete přehrát pomocí tlačítka "Přehrát".
Známe-li hlavní a vedlejší vrcholy A, \, B, \, C, \, D elipsy k_e, kterou chceme vyrýsovat, najdeme její střed S a také hlavní a vedlejší osu o_1, \, o_2. Středy S_A, \, S_B, \, S_C, \, S_D hyperoskulačních kružnic k_A, \, k_B, \, k_C, \, k_D nalezneme následujícím způsobem:
Sestrojíme kružnici l_A se středem ve vrcholu A a poloměrem b = |SC| a kružnici l_C \, (C, \, a = |AS|). Průsečíky X, \, Y kružnic l_A, \, l_C vedeme polopřímku XY. Ta protne hlavní osu o_1 v bodě S_A a vedlejší osu v bodě S_C, což jsou středy hyperoskulačních kružnic ve vrcholech A, \, C. Díky souměrnosti elipsy podle jejích os dohledáme středy oskulačních kružnic ve zbylých vrcholech. Hyperoskulační kružnice k_A, \, k_B, \, k_C, \, k_D mají středy postupně v bodech S_A, \, S_B, \, S_C, \, S_D a (příslušné) poloměry |S_AA|, \, |S_BB|, \, |S_CC|, \, |S_DD|.
Je patrné, že při takové situaci na sebe jednotlivé oblouky hyperoskulačních kružnic nenavazuji. Při konstrukci elipsy ji poblíž vrcholů nahrazujeme vhodně dlouhými oblouky hyperoskulačních kružnic a k přechodu můžeme sestrojit další její body nebo vhodně křivku dokreslit křivítkem.
Aplet E8.1: Konstrukce hyperoskulačních kružnic elipsy
Oskulační kružnice v obecném bodě elipsy
Ve výše zmíněné kapitole jsme osvětlili konstrukci tzv. hyperoskulačních kružnic, tj. oskulačních kružnic ve vrcholech elipsy. Nyní si ukážeme konstrukci oskulační kružnice v koncovém bodě jednoho z obou sdružených průměrů elipsy (tedy v obecném bodě). Postup této konstrukce si můžete přehrát v apletu E8.2.
Známe-li KL, \, MN dvojici sdružených průměrů elipsy k_e (S je středem elipsy) a budeme-li chtít sestrojit oskulační kružnici v bodě K, budeme postupovat následovně (viz aplet E8.2). Sestrojíme tečnu t_K elipsy k_e v bodě K (je to přímka rovnoběžná s průměrem MN procházející bodem K). Dále sestrojíme normálu n_K v bodě K. Průsečík n_K a průměru MN nazveme S'. A dále postupujeme stejně, jako bychom sestrojovali hyperoskulační kružnici ve vrcholu K nějaké elipsy k'_e, jejímž středem je bod S', hlavním vrcholem je bod K a vedlejší vrchol je bod M'. Přičemž |M'S'| = |MS|. Tedy nalezená hyperoskulační kružnice k_K elipsy k'_e v jejím vrcholu K je zároveň "obyčejná" oskulační kružnice elipsy k_e v obecném bodě K.
Aplet E8.2: Konstrukce oskulační kružnice elipsy v obecném bodě
Pozn.: Konstrukce je provedena na základě obecně platné věty (citace z Piska, Medek [10] str. 162):
Věta 8.1: Všechny kuželosečky dotýkající se v pevném bodě, které lze nevlastní elací ve směru společné tečny navzájem v sebe transformovat, mají touž oskulační kružnici (oskulují se).
Na základě trojúhelníkové konstrukce (viz Konstrukce elipsy) lze dohledat normály a středy oskulačních kružnic v nalezených bodech (postup je nahraný v apletu E8.3).
Nechť jsme dohledali pomocí trojúhelníkoví konstrukce I bod X elipsy k_e, tzn. máme již kružnice k_1, \, k_2 a přímku l. Sestrojíme kružnici k_3 se středem v bodě S a poloměrem rovným součtu délek hlavní a vedlejší poloosy (r = a+b). Označme X_3 bod, který je průnikem přímky l a kružnice k_3 a který leží ve stejném kvadrantu určeném osami o_1, \, o_2 jako bod X. Spojnice XX_3 představuje normálu n v bodě X elipsy k_e. (Pozn.: Známe-li normálu n v bodě X, potom pro tečnu t k elipse k_e v tomto bodě platí: X \in t, \, t \perp n.)
Za účelem nalezení středu S_X oskulační kružnice k_X v bodě X a zároveň bodu evoluty elipsy k_e (viz kapitola Tečny a normály elipsy) zkonstruujeme přímku t' kolmou na normálu n. Přímka t' prochází průnikem normály a hlavní osy o_1. Nechť bod Y je průsečík přímky t' a úsečky SX. Střed S_X oskulační kružnice k_X je průnikem normály n a přímky rovnoběžné s vedlejší osou o_2 procházející bodem Y. Poloměr kružnice k_X je vzdálenost |SX|.
V apletu E8.3 je konstrukce nahrána. Začíná ve chvíli, kdy jsme pomocí trojúhelníkové konstrukce našli bod X elipsy k_e. Po přehrání konstrukce můžete měnit polohu přímky l pomocí bodu L. Střed oskulační kružnice zanechává stopu, vykresluje tedy evolutu elipsy k_e.
Aplet E8.3: Konstrukce oskulační kružnice elipsy v obecném bodě pomocí trojúhelníkové konstrukce
Pozn.: Důkaz ke konstrukci normál a středů oskulačních kružnic je předveden v Kadeřávek, Klíma, Kounovský [5] str. 50.