Oskulační kružnice
Hyperoskulační kružnice paraboly
Konstrukce hyperoskulační kružnice ve vrcholu V paraboly k_p je velice jednoduchá. Platí totiž, že poloměr této kružnice je roven velikosti parametru p.
Známe-li ohnisko F a řídicí přímku d paraboly, jednoduše dohledáme její vrchol V. Pak na polopřímce VF ve vzdálenosti p od vrcholu V leží hledaný střed S_V oskulační kružnice. Hyperoskulační kružnice k_V má tedy střed v bodě S_V a poloměr p.
Celý postup konstrukce je nahrán v apletu P8.1, stačí kliknout na tlačítko "Přehrát".
Aplet P8.1: Konstrukce hyperoskulační kružnice paraboly
Při konstrukci paraboly ji poblíž vrcholu nahrazujeme vhodně dlouhým obloukem hyperoskulační kružnice a dále ji dokreslíme křivítkem nebo můžeme také využít oblouků oskulačních kružnic v dalších jejích bodech různých od vrcholu (viz následující kapitola).
Oskulační kružnice v obecném bodě paraboly
V předchozí kapitole jsme provedli konstrukci tzv. hyperoskulační kružnice, tj. oskulační kružnice ve vrcholu paraboly. Nyní si ukážeme konstrukci oskulační kružnice v obecném bodě paraboly (čerpáno z Piska, Medek [10] str. 163). Postup této konstrukce si můžete přehrát v apletu P8.2.
Nechť je parabola určena dvěma tečnami t_K, \, t_L s body dotyku K, \,L. K tětivě KL sestrojíme sdružený průměr paraboly (= přímka procházející průsečíkem P tečen t_K, \, t_L a středem N tětivy KL). Koncový bod sdruženého průměru označme M (je to střed úsečky PN - vycházíme z projektivních vlastností paraboly, více informací můžete najít v Havlíček). Dále zkonstruujeme normálu n_M v bodě M a bod P', který je průsečíkem normály n_M a přímky rovnoběžné s tečnou t_M procházející bodem P. Označme X průsečík t_M a t_K a označme K' průsečík tětivy KL a polopřímky P'X. V bodě K' vztyčíme kolmici na polopřímku P'X. Průsečík Y této kolmice a normály n_M je bod, jehož vzdálenost od KL je rovna poloměru oskulační kružnice v bodě M. Stačí již jen dohledat střed S_M oskulační kružnice k_M, který leží na normále n_M, poloměr známe.
Aplet P8.2: Konstrukce oskulační kružnice v obecném bodě paraboly
Pozn.: Konstrukce je provedena na základě Věty 8.1, která byla zmíněna v kapitole Oskulační kružnice elipsy. Cílem konstrukce je pomocí nevlastní elace ve směru t_M převést danou parabolu k_p na parabolu s vrcholem v M, která má v tomto bodě stejnou oskulační kružnici.