Oskulační kružnice
Hyperoskulační kružnice hyperboly
Nejprve se naučíme sestrojovat hyperoskulační kružnice hyperboly, tedy oskulační kružnice v jejích vrcholech. Pro podporu je zde aplet H8.1, ve kterém si můžete celý postup konstrukce přehrát.
Známe-li vrcholy A, \, B a ohniska F_1, \, F_2 hyperboly k_h , dohledáme bez problémů charakteristický obdélník U_1U_2U_3U_4 a příslušné asymptoty u_1, \, u_2 . Kolmice vztyčená ve vrcholu U_1 charakteristického obdélníka k asymptotě u_1 protíná hlavní osu o_1 hyperboly v hledaném středu S_A jedné z hyperoskulačních kružnic. Střed S_B hyperoskulační kružnice v druhém vrcholu B dohledáme pomocí souměrnosti podle středu S . Tedy hyperoskulační kružnice jsou kružnice: k_A \,(S_A, \, |S_AA|) a k_B \,(S_B, \, |S_BB|).
Při konstrukci hyperboly ji poblíž vrcholů nahrazujeme vhodně dlouhými oblouky hyperoskulačních kružnic. V dalších bodech můžeme sestrojit oskulační kružnice (viz kapitola níže) nebo vhodně křivku dokreslit křivítkem.
Aplet H8.1: Konstrukce hyperoskulačních kružnic hyperboly
Oskulační kružnice v obecném bodě hyperboly
Ve výše zmíněné kapitole jsme osvětlili konstrukci tzv. hyperoskulačních kružnic, tj. oskulačních kružnic ve vrcholech hyperboly. Nyní si ukážeme konstrukci oskulační kružnice v obecném bodě hyperboly. Postup této konstrukce si můžete přehrát v apletu H8.2.
Pro konstrukci oskulační kružnice v libovolném bodě M hyperboly k_h budeme potřebovat znát asymptoty u_1, \, u_2 hyperboly a tečnu t_M ve zvoleném bodě M. Střed oskulační kružnice k_M v bodě M zkonstruujeme následujícím způsobem. V bodě M sestrojíme normálu n_M. Středem S vedeme přímku rovnoběžnou s tečnou t_M, ta protne normálu n_M v bodě S'. Průsečík t_M a u_1 označme U'_1. Střed S_M oskulační kružnice nalezneme jako průsečík normály n_M a kolmice vztyčené z bodu U'_1 na úsečku S'U'_1. Oskulační kružnice k_M hyperboly v bodě M je kružnice k_M \, (S_M, \, |S_MM|).
Aplet H8.2: Konstrukce oskulační kružnice v obecném bodě hyperboly
Pozn.: Konstrukce je provedena opět na základě obecně platné věty - Věty 8.1, která byla zmíněna v kapitole Oskulační kružnice elipsy. Cílem konstrukce je pomocí nevlastní elace o ose t_M převést danou hyperbolu k_h na hyperbolu s vrcholem v M, která má v tomto bodě stejnou oskulační kružnici.