Riešte rovnice s neznámou
t \in \mathbb{R}:
1.
\cos (4t + 60^\circ) = \cos t
-
\cos (4t + 60^\circ) - \cos t = 0
-
-2\sin {\Large 4t + 60^\circ + t \over \Large 2} \sin {\Large 4t + 60^\circ - t \over \Large 2} = 0
(Používame vzorce uvedené v časti.)
-
-2\sin {\Large 5t + {\Large \pi \over 3} \over \Large 2} \sin {\Large 3t + {\Large \pi \over 3} \over \Large 2} = 0
(Využijeme
{\pi \over 2} = 90^\circ \Rightarrow 60^\circ = {\pi \over 3}.)
- Prvá možnosť:
-2\sin {\Large 5t + {\Large \pi \over 3} \over \Large 2} \sin {\Large 3t + {\Large \pi \over 3} \over \Large 2} = 0 \Leftrightarrow \sin {\Large 5t + {\pi \over 3} \over \Large 2} = 0 \vee \sin {\Large 3t + {\pi \over 3} \over \Large 2} = 0
Využijeme vlastnosť, kedy sa súčin rovná nule (aspoň, keď jeden činiteľ je rovný nule).
- Prvá možnosť:
\sin {\Large 5t + {\Large \pi \over 3} \over \Large 2} = 0
- Zavedieme substitúciu
{\Large 5t + {\Large \pi \over 3} \over \Large 2} = y
a získame rovnicu:
-
\sin y = 0
-
-
\sin y = 0 \Rightarrow y = k\pi, k \in \mathbb{Z}
Vrátime sa k substitúcií a upravíme rovnicu.
-
{\Large 5t + {\Large \pi \over 3} \over \Large 2} = k\pi
-
t_1 = {2 \over 5} k\pi - {1 \over 15}\pi; k \in \mathbb{Z}
- Druhá možnosť:
\sin {\Large 3t + {\pi \over 3} \over \Large 2} = 0
- Zavedieme substitúciu
{\Large 3t + {\pi \over 3} \over \Large 2} = y
a získame rovnicu:
-
\sin y = 0
-
-
\sin y = 0 \Rightarrow y = k\pi, k \in \mathbb{Z}
Vrátime sa k substitúcií a upravíme rovnicu.
-
{\Large 3t + {\pi \over 3} \over \Large 2} = k\pi
-
t_2 = {2 \over 3} k\pi - {1 \over 9}\pi; k \in \mathbb{Z}
- Výsledné riešenie napíšeme v tvare:
K = \bigcup\limits_{k\in\mathbb{Z}}\{\ {2 \over 5} k\pi - {1 \over 15}\pi; {2 \over 3} k\pi - {1 \over 9}\pi \}\;.
2.
-\sin 2t = \sin 10t
-
\sin 10t + \sin 2t= 0
-
2\sin {\Large 12t \over \Large 2} \cos {\Large 8t \over \Large 2} = 0
(Používame vzorce uvedené v časti.)
-
2\sin 6t \cos 4t = 0
-
2\sin 6t \cos 4t = 0 \Leftrightarrow 2\sin 6t = 0 \vee \cos 4t = 0
(Využijeme vlastnosť, kedy sa súčin rovná nule (aspoň, keď jeden činiteľ je rovný nule.)
- Prvá možnosť:
2 \sin 6t = 0 \Rightarrow \sin 6t = 0
- Zavedieme substitúciu
6t = y
-
\sin y = 0
-
-
\sin y = 0 \Rightarrow y = k\pi, k \in \mathbb{Z}
- Vrátime sa k substitúcií a upravíme rovnicu.
6t = k\pi
-
t_1 = k{\pi \over 6}, k \in \mathbb{Z}
- Druhá možnosť:
\cos 4t = 0
- Zavedieme substitúciu
4t = y
-
\cos y = 0
-
-
\cos y = 0 \Rightarrow y = {\pi \over 2} k\pi, k \in \mathbb{Z}
- Vrátime sa k substitúcií a upravíme rovnicu
4t = {\pi \over 2} + k\pi
-
t_2 = {\pi \over 8} + k{\pi \over 4}, k \in \mathbb{Z}
- Výsledné riešenie napíšeme v tvare:
K = \bigcup\limits_{k\in\mathbb{Z}}\{\ k{\pi \over 6}; {\pi \over 8} + k{\pi \over 4} \}\;.
3.
\sin \left (t + {\pi \over 4} \right)\cos \left (t + {\pi \over 4} \right) = {1 \over 4}
-
\left (\sin t \cos {\pi \over 4} + \cos t \sin {\pi \over 4} \right) \left(\cos t \cos {\pi \over 4} - \sin t \sin {\pi \over 4} \right) = {1 \over 4}
-
\left ({\sqrt{2} \over 2} \sin t + {\sqrt{2} \over 2} \cos t \right)\left ({\sqrt{2} \over 2} \cos t - {\sqrt{2} \over 2} \sin t \right) = {1 \over 4}
(Používame vzorce uvedené v časti.)
-
{1 \over 2}\cos^2 t - {1 \over 2} \sin^2 t = {1 \over 4}
-
{1 \over 2}\left(\cos^2 t - \sin^2 t \right) = {1 \over 4}
Využijeme vlastnosť, kedy sa súčin rovná nule (aspoň, keď jeden činiteľ je rovný nule).
-
1 - 2\sin^2 t = {1 \over 2}
-
2\sin^2 t = {1 \over 2}
-
\sin^2 t = {1 \over 4}
-
\sin t = \pm {1 \over 2}
-
-
\sin t = \pm {1 \over 2} \Rightarrow t = {\pi \over 6} + k\pi; {5 \over 6}\pi + k\pi, k \in \mathbb{Z}
- Výsledné riešenie napíšeme v tvare:
K = \bigcup\limits_{k\in\mathbb{Z}}\{\ {\pi \over 6} + k\pi; {5\pi \over 6} + k\pi \}\;.
4.
\sin \left (t + 45^\circ \right) + \sin \left (t - 45^\circ \right) = {\sqrt{2} \over 2}
-
\left (2\sin {2t \over 2} \cos {90^\circ \over 2} \right) = {\sqrt{2} \over 2}
(Používame vzorce uvedené v časti).
-
\left (2\sin t \cos 45^\circ \right) = {\sqrt{2} \over 2}
(Používame tabuľkové hodnoty uvedené v časti).
-
{\sqrt{2} \over 2}2\sin t - {\sqrt{2} \over 2} = 0
-
{\sqrt{2} \over 2}.(2\sin t - 1) = 0
Využijeme vlastnosť, kedy sa súčin rovná nule (aspoň, keď jeden činiteľ je rovný nule).
-
{\sqrt{2} \over 2}.(2\sin t - 1) = 0 \Leftrightarrow (2\sin t - 1) = 0
-
2\sin t - 1 = 0
-
\sin t = {1 \over 2}
-
-
t_1 = {\pi \over 6} + 2k \pi, k \in \mathbb{Z}
(Prvé riešenie, využívame vlastnosť, že funkcia sínus je periodická.)
-
t_2 = {5 \over 6} + 2k \pi, k \in \mathbb{Z}
(Druhé riešenie.)
- Výsledné riešenie napíšeme v tvare:
K = \bigcup\limits_{k\in\mathbb{Z}}\{\ {\pi \over 6} + 2k\pi; {5\pi \over 6} + 2k\pi \}\;.
5.
{\rm tg}\: (t + {\pi \over 6})\ {\rm tg}\: (t - {\pi \over 3}) = 1
-
{\Large{\rm tg}\: t\ +\ \Large{\rm tg}\: {\pi \over 6} \over 1\ -\ \Large{\rm tg}\: t\ \Large{\rm tg}\: {\pi \over 6}}\ .\ {\Large{\rm tg}\: t\ -\ \Large{\rm tg}\:\ {\pi \over 3} \over 1\ +\ \Large{\rm tg}\: t\ \Large{\rm tg}\:\ {\pi \over 3}} =1
(Používame vzorce uvedené v časti.)
-
{\Large{\rm tg}\: t\ +\ \Large{\sqrt {3} \over 3} \over 1\ -\ \Large{\sqrt {3} \over 3} \Large{\rm tg}\: t}\ .\ {\Large{\rm tg}\: t\ -\ \Large{\sqrt {3}} \over 1\ +\ \Large{\sqrt{3}}{\rm tg}\: t} = 1
(Používame tabuľkové hodnoty funkcie tangens uvedené v časti.)
-
{{\Large{\rm tg^2}\: t\ -\ \Large{\sqrt {3}}\Large {\rm tg}\: t\ +\ \Large{\sqrt {3} \over 3} \Large{\rm tg}\: t\ -\ 1} \over {1 + \Large{\sqrt{3}}\Large{\rm tg}\: t\ -\ \Large{\sqrt{3} \over 3} \Large{\rm tg}\: t\ -\ \Large{\rm tg^2}\: t}} = 1
-
{{\Large{\rm tg^2}\: t\ -\ \Large{\sqrt{3}}\Large{\rm tg}\: t\ +\ \Large{\sqrt{3} \over 3} \Large{\rm tg}\: t - 1} \over {-1\Large(\Large{\rm tg^2}\: t\ -\ \Large{\sqrt{3}}\Large{\rm tg}\: t\ +\ \Large{\sqrt 3 \over 3}\Large{\rm tg}\: t -1)}} = 1
-
-1 \not = 1 \Rightarrow K = \emptyset
(Množina koreňov je prázdna.)
