Goniometrické rovnice a nerovnice

Úlohy

Riešte rovnice s neznámou t \in \mathbb{R}:

1. 2\sin^2 t + 3\cos t = 0

• 2(1-\cos^2 t) + 3\cos t = 0 (Používame vzorce uvedené v časti goniometrické vzorce. )
• 2\cos^2 t - 3 \cos t - 2 = 0
• Zavedieme substitúciu: \cos t = y
• 2y^2 - 3y - 2 = 0 (Vypočítame diskriminant kvadratickej rovnice a určíme riešenia rovnice, postupujeme ako vo vzorových príkladoch kapitoly.)
• D=25
• y_{1,2}={3\pm 5 \over 4} \Rightarrow y_1 = 2; y_2 = -{1 \over 2}
• Vrátime sa k substitúcii \cos t = y a po dosadení za y dostávame:
• \cos t_1 = 2 \Rightarrow t_1 \in \emptyset
• \cos t_2 = -{1 \over 2}
• 
• \cos t_2 = -{1 \over 2} \Rightarrow t_2 = {2 \over 3}\pi + 2k\pi; {4 \over 3}\pi + 2k\pi
• Výsledné riešenie napíšeme v tvare: K = \bigcup\limits_{k\in\mathbb{Z}}\{\frac{2}{3}{\pi}+2k\pi; \frac{4}{3}{\pi}+2k\pi \}\;.

2. 2\sin^2 t -\cos^2 t - 4\sin t +2 = 0

• 2\sin^2 t -1 + \sin^2 t - 4\sin t + 2 = 0 (Používame vzorce uvedené v časti časti.)
• 3\sin^2 t - 4\sin t + 1 = 0
• Zavedieme substitúciu \sin t = y.
• 3y^2 - 4y +1 = 0 (Vypočítame diskriminant kvadratickej rovnice a určíme riešenia rovnice, postupujeme ako vo vzorových príkladoch tejto kapitoly.)
• D=4
• y_{1,2}={4\pm 2 \over 6} \Rightarrow y_1 = 1; y_2 = {1 \over 3}
• Vrátime sa k substitúcii \cos t = y a po dosadení za y dostávame:
• \sin t_1 = 1 \Rightarrow t_1 = {\pi \over 2} + 2k\pi = 90° + k\cdot 360° (Výsledok je vidieť z grafu funckie sínus, môžme ho zapísať aj v stupňovej miere.)
• V druhom prípade platí: \sin t_2 = {1 \over 3} \Rightarrow t_2 = 19°28' + k\cdot 360°; 160°32' + k\cdot 360°

• Výsledné riešenie napíšeme v tvare:

  K = \bigcup\limits_{k\in\mathbb{Z}}\{90° + k\cdot 360°; 19°28' + k\cdot 360°; 160°32' + k\cdot 360° \}\;

3. 12\sin^4 t + \sin^2 t - 1 = 0

• Zavedieme substitúciu \sin^2 t = y
• 12y^2 + y - 1 = 0
• D=49
• y_{1,2}={-1\pm 7 \over 24} \Rightarrow y_1 = -{1 \over 3}; y_2 = {1 \over 4}
• \sin^2 t_1 = -{1 \over 3} \Rightarrow t_1 \in \emptyset (Druhá mocnina je nezáporné číslo!)
• \sin^2 t_2 = {1 \over 4} \Rightarrow \sin t_2 = \pm {1 \over 2}
• 
• \sin t_2 = {1 \over 2} \Rightarrow t_2 = {\pi \over 6} + 2k\pi; {5 \over 6}\pi + 2k\pi, k \in \mathbb{Z}
• \sin t_3 = -{1 \over 2} \Rightarrow t_2 = {7 \over 6}\pi + 2k\pi; {11 \over 6}\pi + 2k\pi, k \in \mathbb{Z}
• Využitím periodičnosti funkcie sínus dostávame výsledné riešenie, ktoré zapíšeme v tvare: K = \bigcup\limits_{k\in\mathbb{Z}}\{\frac{\pi}{6}+k\pi; \frac{5}{6}{\pi}+k\pi \}\;.

4. {\rm tg}\: t + {\rm cotg}\: t = 2

• {\rm tg}\: t + \large{1 \over {\rm tg}\: t} -2 = 0 (Používame vzorce uvedené v časti časti.)
• Aby výrazy v rovnici boli definované, musí platiť: {\rm tg}\: t \not= (2k + 1)\cdot {\pi \over 2}
• {\rm tg^2}\: t + 1 - 2{\rm tg}\: t = 0
• Zavedieme substitúciu {\rm tg}\: t = y
• y^2 - 2y + 1 = 0 (Vyriešime kvadratickú rovnicu a urćíme korene rovnice.)
• D = 0 \Rightarrow y = {2 \over 2} = 1
• 
• {\rm tg}\: t = 1 \Rightarrow t = {\pi \over 4} + k\pi (Využívame periodičnosť funkcie tangens.)
• Výsledné riešenie napíšeme v tvare K = \bigcup\limits_{k\in\mathbb{Z}}\{\frac{\pi}{4}+k\pi \}\;.

5. 2\sin t\ {\rm tg}\: t + 4\cos t -5 = 0

• Zavedieme substitúciu: 2\sin t \large{\sin t \over \cos t} + 4\cos t -5 = 0 (Použili sme vzorec {\rm tg}\: t = \large{\sin t \over \cos t} .)
• Aby výrazy v rovnici boli definované, musí platiť: \cos t \not= 0 \Rightarrow t \not= {\pi \over 2} + k\pi
• 2{\large\sin^2 t \over \large\cos t} + 4\cos t - 5 = 0 / \cdot \cos t
• 2\sin^2 t + 4\cos^2 t - 5\cos t = 0
• 2(1-\cos^2 t) + 4\cos^2 t -5\cos t =0 (Používame vzorce uvedené v časti časti.)
• 2\cos^2 t - 5\cos t + 2 = 0
• Zavedieme substitúciu \cos t = x
• 2x^2 -5x + 2 = 0 Vyriešime kvadratickú rovnicu (vypočítame diskriminant kvadratickej rovnice a určíme korene rovnice.)
• D = 9 \Rightarrow x_{1,2}= {5 \pm 3 \over 4}
• x_1 = 2; x_2 = {1 \over 2}

• Vrátime sa k substitúcií a pomocou grafu nájdeme korene rovníc.

  
• x_1 = 2 \Rightarrow \cos t = 2, t \in \emptyset (Také t neexistuje.)
• x_2 = {1 \over 2} \Rightarrow \cos t = {1 \over 2} \Rightarrow t_1 = {\pi \over 3} + 2k\pi; t_2 = {5\pi \over 3} + 2k\pi (Využívame periodičnosť funkcie kosínus.)
• Výsledné riešenie napíšeme v tvare K = \bigcup\limits_{k\in\mathbb{Z}}\{\frac{\pi}{3} + 2k\pi; \frac{5\pi}{3} + 2k\pi \}\;.