Vzorce pre goniometrické funkcie
Základné vzťahy medzi goniometrickými funkciami rovnakého argumentu
Veta
Pre každé x \in \mathbb{R} platí: \sin^2 x + \cos^2 x = 1
Pre každé reálne x \not= k{\large \pi \large \over 2}; k \in \mathbb{Z}, platí: {\rm tg}\: x \cdot {\rm cotg}\: x = 1
Goniometrické funkcie dvojnásobného argumentu
Veta
Pre každé x \in \mathbb{R} platí: \sin 2x = 2\sin x \cos x
Pre každé x \in \mathbb{R} platí: \cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x
Pre každé reálne x \not= (2k + 1){\large \pi \over 2}, x \not= (2k + 1){\large \pi \over 4}; k \in \mathbb{Z} platí: {\rm tg}\: 2x = {\large 2 {\rm tg}\: x \over \large 1 - {\rm tg^2}\: x}
Goniometrické funkcie súčtu a rozdielu argumentov
Veta
Pre každé dve reálne čísla x a y platí:
\sin (x + y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y
\sin (x - y) = \sin x \cos y - \cos x \sin y
\cos (x + y) = \cos x \cos y - \sin x \sin y
\cos (x - y) = \cos x \cos y + \sin x \sin y
Pre každé dve reálne čísla, kde
x \not= (2k + 1){\large \pi \over 2}, y \not= (2k + 1){\large \pi \over 2}, x + y \not= (2k + 1) {\large \pi \over 2}, {\rm tg}\: x \cdot {\rm tg}\: y \not= 1, k \in \mathbb{Z}
platí: {\rm tg}\: (x + y) = {\large {\rm tg}\: x + {\rm tg}\: y \over \large 1 - {\rm tg}\: x \cdot {\rm tg}\: y}
Pre každé dve reálne čísla, kde x - y \not= (2k + 1){\large \pi \over 2}, {\rm tg}\: x \cdot {\rm tg}\: y \not= -1, k \in \mathbb{Z}, platí:
{\rm tg}\: (x - y) = {\large {\rm tg}\: x - {\rm tg}\: y \over \large 1 + {\rm tg}\: x \cdot {\rm tg}\: y}
Vzorce pre súčet a rozdiel hodnôt funkcií sínus a kosínus
Veta
Pre každé dve reálne čísla x a y platí:
\sin x + \sin y = 2\sin {\Large x + y \over \large 2}\cos {\Large x-y \over \large 2}
\sin x - \sin y = 2\cos {\Large x + y \over \large 2}\sin {\Large x-y \over \large 2}
\cos x + \cos y = 2\cos {\Large x + y \over \large 2}\cos {\Large x-y \over \large 2}
\cos x - \cos y = -2\sin {\Large x + y \over \large 2}\sin {\Large x-y \over \large 2}
Goniometrické funkcie poloviny argumentu
Veta
Pre každé x \in \mathbb{R} platí: |\sin {\large x \over 2}| = \sqrt {\large 1 - \cos x \over 2}
Pre každé x \in \mathbb{R} platí: |\cos {\large x \over 2}| = \sqrt {\large 1 + \cos x \over 2}
Pre každé reálne číslo x \not= (2k + 1)\pi, k \in \mathbb{Z}, platí: |{\rm tg}\: \large \frac {x} {2} | = \sqrt {\frac {1 - \cos x} {1+ \cos x}}
Poznámka
Všetky dôkazy týchto základných vzorcov môžme nájsť v diplomovej práci Goniometrie a trigonometrie.
