Goniometrické rovnice a nerovnice

Úlohy

Riešte rovnice s neznámou t \in \mathbb{R}:

1. \sin t \leq {\large \sqrt{2} \large \over \large 2}

• 

• Využitím jednotkovej kružnice dostávame riešenie, ktoré zapíšeme v tvare:

  K = \bigcup\limits_{k\in\mathbb{Z}} \langle \frac{3}{4}{\pi}+2k\pi; 2\pi + \frac{\pi}{4}+2k\pi \rangle = \bigcup_{k\in\mathbb{Z}} \langle \frac{3}{4}{\pi}+2k\pi; \frac{9}{4}{\pi}+2k\pi \rangle.

2. 2\sqrt{3} \cos t \geq 3

• 2\cos t \geq {3 \over \sqrt{3}}.
• 2\cos t \geq \sqrt{3}.
• \cos t \geq {\sqrt{3} \over 2}.
• 

• Využitím jednotkovej kružnice dostávame riešenie, ktoré zapíšeme v tvare:

  K = \bigcup\limits_{k\in\mathbb{Z}} \langle \frac{11}{6}{\pi}+2k\pi; 2\pi + \frac{\pi}{6}+2k\pi \rangle .

3. {\rm cotg}\: t < 1

• Aby výrazy v nerovnici boli definované, musí platiť podmienka: t \not= k\pi, k \in \mathbb{Z}.
• 

• Využitím grafu a periodicity funkcie kotangens dostávame výsledné riešenie, ktoré zapíšeme v tvare:

  K = \bigcup\limits_{k\in\mathbb{Z}} \left (\frac{\pi}{4}+ k\pi; \pi + k\pi \right).

4. 3\sqrt {3} {\rm tg}\: t - 3 \geq 0

• Aby výrazy v nerovnici boli definované, musí platiť podmienka: t \not= (2k + 1){\pi \over 2}; k \in \mathbb{Z}.
• 3\sqrt {3} {\rm tg}\: t \geq 3.
• \sqrt {3} {\rm tg}\: t \geq 1
• {\rm tg}\: t \geq {1 \over \sqrt {3}}
• {\rm tg}\: t \geq {\sqrt {3} \over 3}
• 

• Využitím grafu a periodicity funkcie tangens dostávame výsledné riešenie, ktoré zapíšeme v tvare:

  K = \bigcup\limits_{k\in\mathbb{Z}} \langle \frac{\pi}{6} + k\pi; \frac{\pi}{2}+k\pi ).

5. \cos t < \cos {\large\pi \over 4}