Věty a tvrzení o limitách

    O limitách můžeme dokázat nepřeberné množství tvrzení a vět, některé z nich zde budou formulovány a jejich důkazy naleznete pod příslušným odkazem.

 

Věta:

Pokud má funkce v daném bodě limitu, pak je tato limita jednoznačná.

 

Matematický zápis: Nechť  a . Potom platí A = B.

 

Věta:

Nechť  a $d>0 tak, že "xÎP(a,d) f(x)  = g(x).

Potom .

 

Tato věta se obvykle nazývá větou o limitě dvou funkcí.

 

Myšlenka věty: Jsou-li si rovny funkční hodnoty funkcí f a g na prstencovém okolí bodu a, pak se limity rovnají. Nezáleží na funkčních hodnotách v bodě a.

 

Věta:

Nechť $d>0 "xÎP(a,d) f(x) £ g(x) £ h(x) a .

Pak $  a platí .

Tato věta se občas nazývá větou o strážích, o policistech či větou o třech limitách.

 

Myšlenka věty: Když jsou na nějakém prstencovém okolí bodu a splněny nerovnosti f(x) £ g(x) £ h(x) a limity funkcí f a h jsou v bodě a rovny hodnotě L, pak můžeme ihned říci, čemu se rovná limita funkce g v bodě a.

 

Věta:

Nechť .

Pak $d>0 "xÎP(a,d) f(x) < g(x).

 

Myšlenka věty: Když jsou hodnoty limit funkcí f a g v bodě a v ostré nerovnosti, pak víme, že existuje prstencové okolí bodu a, ve kterém jsou ve stejné nerovnosti funkční hodnoty těchto funkcí.

 

Věta:

Nechť existuje d>0 tak, že "xÎP(a,d) f(x) £ g(x) a nechť  a . Potom platí A £ B.

Myšlenka věty: Když existuje nějaké prstencové okolí bodu a takové, že jsou v něm funkční hodnoty funkcí f a g v neostré nerovnosti a když má funkce f  v bodě a limitu rovnu číslu A a funkce g  v bodě a limitu rovnu číslu B, pak víme, že pro tato čísla (a tedy pro příslušné limity) platí stejná neostrá nerovnost.

Věta je v jakémsi smyslu doplňkem k předchozí větě, je ale nutné si uvědomit, že se v ní hovoří pouze o neostré nerovnosti. To je podstatný rozdíl od předchozí věty.

 

Věta:

Nechť  a AÎR.

Potom $d>0 tak, že funkce f je omezená na P(a,d).

 

 

 

 

 

Věta:

Nechť  a $d>0 tak, že funkce g(x) je omezená na P(a,d).

Pak .

 

Myšlenka věty: Když je limita funkce f v bodě a nulová a funkce g je na prstencovém okolí bodu a omezená, pak ihned víme, že limita součinu těchto dvou funkcí v bodě a je také nulová.

 

Věta:

Nechť . Potom .

 

 

 

 

Věta:

Nechť  a . Potom

1.   

2.   

3.    Je-li B¹0  

 

Myšlenka věty: Známe-li limity funkcí f a g v bodě a, pak můžeme ihned určit limitu součtu, rozdílu, součinu a s dodatečnou podmínkou také podílu funkcí f a g.

 

Věta:

Nechť  a $d>0 xÎP(a,d) Þ  f(x)>0, pak .

 

 

Věta:

Je-li a funkce f spojitá v bodě A, potom .

 

Myšlenka věty: Limitu složené funkce f  g můžeme spočítat tak, že spočteme limitu vnitřní funkce g a výsledek dosadíme do vnější spojité funkce f.

 

Věta:

Nechť  a  a $d>0 xÎP(a,d) Þ g(x) ¹ A.

Potom .