O limitách můžeme dokázat nepřeberné množství tvrzení a vět, některé z nich zde budou formulovány a jejich důkazy naleznete pod příslušným odkazem.
Věta:
Pokud má funkce v daném bodě limitu, pak je tato limita jednoznačná.
|
|
|
Matematický zápis: Nechť
|
Věta:
Nechť
a
$d>0
tak, že "xÎP(a,d)
f(x) = g(x).
.
Tato věta se obvykle nazývá větou o limitě dvou funkcí.
 |
 |
Myšlenka věty: Jsou-li si rovny funkční hodnoty
funkcí f a g na prstencovém okolí bodu a,
pak se limity rovnají. Nezáleží na funkčních hodnotách v bodě a.
|
Věta:
Nechť $d>0 "xÎP(a,d) f(x)
£ g(x) £ h(x) a
.
Pak
$
a platí
.
Tato věta se občas nazývá větou o strážích, o policistech či větou o třech limitách.
|
|
|
Myšlenka věty: Když jsou na nějakém prstencovém okolí bodu a splněny nerovnosti f(x) £ g(x) £ h(x) a limity funkcí f a h jsou v bodě a rovny hodnotě L, pak můžeme ihned říci, čemu se rovná limita funkce g v bodě a. |
Věta:
Nechť
.
Pak $d>0 "xÎP(a,d) f(x) < g(x).
|
|
|
Myšlenka věty: Když jsou hodnoty limit funkcí f a g v bodě a v ostré nerovnosti, pak víme, že existuje prstencové okolí bodu a, ve kterém jsou ve stejné nerovnosti funkční hodnoty těchto funkcí. |
Věta:
Nechť
existuje d>0
tak, že "xÎP(a,d)
f(x) £
g(x) a nechť 
a
. Potom platí A
£
B.
|
|
|
Myšlenka věty: Když existuje nějaké prstencové okolí bodu a takové, že jsou v něm funkční hodnoty funkcí f a g v neostré nerovnosti a když má funkce f v bodě a limitu rovnu číslu A a funkce g v bodě a limitu rovnu číslu B, pak víme, že pro tato čísla (a tedy pro příslušné limity) platí stejná neostrá nerovnost. |
|
|
Věta je v jakémsi smyslu doplňkem k předchozí větě,
je ale nutné si uvědomit, že se v ní hovoří pouze o neostré nerovnosti. To
je podstatný rozdíl od předchozí věty.
|
Věta:
Nechť
a AÎR.
Potom $d>0 tak, že funkce f je omezená na P(a,d).
|
|
|
|
Věta:
Nechť
a
$d>0
tak, že funkce g(x) je omezená na P(a,d).
Pak
.
|
|
|
Myšlenka věty: Když je limita funkce f
v bodě a nulová a funkce g je na prstencovém okolí bodu a
omezená, pak ihned víme, že limita součinu těchto dvou funkcí v bodě a
je také nulová.
|
Věta:
Nechť
. Potom
.
|
|
|
Věta:
Nechť
a
.
Potom
1.
2.
3. Je-li B¹0
|
|
|
Myšlenka věty: Známe-li limity funkcí f a g v bodě a, pak můžeme ihned určit limitu součtu, rozdílu, součinu a s dodatečnou podmínkou také podílu funkcí f a g. |
Věta:
Nechť
a
$d>0
xÎP(a,d)
Þ f(x)>0,
pak 
.
|
|
Věta:
Je-li
a funkce
f spojitá v bodě A, potom
.
|
|
|
Myšlenka věty: Limitu složené funkce f ○ g
můžeme spočítat tak, že spočteme limitu vnitřní funkce g
a výsledek dosadíme do vnější spojité funkce f.
|
Věta:
Nechť
a
a
$d>0
xÎP(a,d)
Þ
g(x) ¹
A.
Potom
.
|
|
a
. Potom platí A =
B.
