Důkaz:

Větu dokážeme z definice limity funkce v bodě a.

Nechť je e>0 dáno. Použijeme předpoklady věty:

ze spojitosti funkce f v bodě A plyne

$h>0 "y yÎU(A,h) Þ  f(y)ÎU(f(A),e)

z limity funkce g v bodě a plyne

$d>0 "x xÎP(a,d) Þ  g(x)ÎU(A,h)

Potom pro každé xÎP(a,d) platí, že g(x)ÎU(A,h) a tedy f(g(x))ÎU(f(A),e).

Je proto splněna definice limity a platí .

Konec důkazu.