Důkaz:

Nechť je dáno e >0.

Z předpokladů věty víme, že

         $d>0 "x xÎP(a,d) Þ êf(x) - Aú < e

Z trojúhelníkové nerovnosti získáme

êxú £ êx – y + yú £ êx - yú + êyú

êxú - êyú £ êx - yú

êyú £ êy – x + xú £ êy - xú + êxú

êyú - êxú £ êy - xú =  êx - yú

A protože je tedy

êxú - êyú £ êx - yú a zároveň –(êxú - êyú) £ êx - yú, platí

êêxú - êyúú £ êx - yú

Proto platí

         $d>0 "x xÎP(a, d) Þ êêf(x)ú - êAúú £ êf(x) - Aú < e

Konec důkazu.