Věta:

Nechť  a . Potom

 1.  

2.  

3.   Je-li B¹0  

 

Důkaz:

a. A, B Î R

 

Add 1.

Nechť je libovolně pevně zvoleno e >0.

                   $d1>0 "x xÎP(a,d1) Þ  A-e/2 < f(x) < A+e/2

$d2>0 "x xÎP(a,d2) Þ  B-e/2 < g(x) < B+e/2

Definujme d, d = min(d1,d2).

Pro každé xÎP(a,d) platí:

         ê(f(x) ± g(x)) – (A±B)ú = ê(f(x) – A) ± (g(x) - B)ú  £

£      êf(x) – Aú +êg(x) - Bú < e/2 + e/2 = e

 

Add 2.

Pozn. Důkaz předpokládá A¹0, pro A=0 se jedná o předchozí větu.

Protože funkce g má vlastní limitu, je tedy omezená na nějakém prstencovém okolí bodu a. Platí tedy

         $K>0 $D>0 "xÎP(a,D) Þ êg(x)ú < K

Nechť je libovolně pevně zvoleno e >0.

                   $d1>0 "x xÎP(a,d1) Þ  êf(x) -  Aú < e/2K

$d2>0 "x xÎP(a,d2) Þ  êg(x) -  Bú < e/2 êAú

Definujme d, d = min(D,d1,d2).

Pro každé xÎP(a,d) platí:

         êf(x).g(x) – A.Bú = êf(x).g(x) – A.g(x) + A.g(x) -A.Bú  £

£ ê(f(x) – A)ú .êg(x)ú  + êg(x) - Bú .|A|  <

< (e/2K).K + (e/2 |A|).|A| = e

         Add 3.

         Pomocná tvrzení

         (a)     Nechť . Potom $D>0 xÎP(a,D) Þ  

         Důkaz (a)

                   Podle předchozí věty je

                   Zvolme e, e = ú Bú/2. Je tedy e >0.

                   Z definice limity platí:

                            $D>0 xÎP(a,D) Þ  

         Konec důkazu.

         (b)     Þ  

         Důkaz (b)

         Nechť je libovolně pevně zvoleno e >0.

         Dle pomocného tvrzení (a) platí

                   $D>0 xÎP(a,D) Þ  

                            $d1>0 "x xÎP(a,d1) Þ  

Definujme d, d = min(D,d1).

Pro každé xÎP(a,d) platí:

                           

         Konec důkazu.

    Pomocí tvrzení (b) a předchozího bodu 2 o limitě součinu funkcí snadno získáme dokazované tvrzení.

 

Konec důkazu.

b. Případy s nevlastními limitami. Dokažme alespoň některé.

1.    Nechť je , .

Pak platí .

Důkaz.

         Nechť je libovolně pevně zvoleno K>0. Platí pak

                            $d1>0 "x xÎP(a,d1) Þ g(x) > KA+1

Zvolme e, e = 1. Pak

$d2>0 "x xÎP(a,d2) Þ A-1 < f(x) < A+1

Definujme d, d = min(d1,d2).

Pro každé xÎP(a,d) platí:

                  f(x) +g(x) > A–1+KA+1=K

 

Konec důkazu.

        

2.    Nechť je Ù A>0 a .

Pak platí

Důkaz.

         Z definice limity plyne

                  $d1>0 "x xÎP(a,d1) Þ  A/2 < f(x)

         Nechť je libovolně pevně zvoleno K<0.

Platí pak

$d2>0 "x xÎP(a,d2) Þ  

Definujme d, d = min(d1,d2).

Pro každé xÎP(a,d) pak platí:

        

        

         Platí tedy f(x).g(x) < K

 

Konec důkazu.