Věta:

Nechť  a $d>0 tak, že funkce g(x) je omezená na P(a,d).

Pak .

 

Důkaz:

Z předpokladů věty plyne

    $K>0 tak, že pro každé xÎP(a,d) platí: | g(x) | < K

 

Zvolme libovolně pevně e>0 a definujme e1, e1 = e/K

Z definice limity dostaneme

    $d1>0 "x xÎP(a,d1) Þ  -e1 < f(x) < e1

Zvolme  D, D = min (d1,d).

 

Pro každé xÎP(a,D) tedy platí:

    | f(x).g(x) - 0 | = | f(x) |.| g(x) | e1.K = e/K.K = e

 

a tedy .

Obr.

 

Konec důkazu.