Věta: Nechť  a $d>0 tak, že funkce g(x) je omezená na P(a,d). Pak .

 

Důkaz:

Z předpokladů věty plyne

    $K>0 tak, že pro každé xÎP(a,d) platí: | g(x) | < K

 

Zvolme libovolně pevně e>0 a definujme e_1, e₁ = e/K

Z definice limity dostaneme

    $d₁>0 "x xÎP(a,d₁) Þ  -e₁ < f(x) < e₁

Zvolme  D, D = min (d₁,d).

 

Pro každé xÎP(a,D) tedy platí:

    | f(x).g(x) - 0 | = | f(x) |.| g(x) | < e₁.K = e/K.K = e

 

a tedy .

Obr.

 

Konec důkazu.