Důkaz:

Dokážeme sporem.

Předpokládejme, že A¹B. Pak mohou nastat dvě možnosti

1.    A>B

2.    A<B.

Ad 1.

A, B ÎR:

Zvolme e, e = (A-B)/2.

$d₁>0 "x xÎP(c,d₁) Þ A-e < f(x) < A+e

$d₂>0 "x xÎP(c,d₂) Þ B-e < f(x) < B+e

Definujme d, d = min(d₁,d₂).

Pro každé xÎP(c,d) tedy platí: f(x) < B+e = A-e < f(x), což je spor, takže musí být A=B.

Obr.

 

Jedna hodnota vlastní, jedna nevlastní, např. A = +¥, BÎR.

$d₁>0 "x xÎP(c,d₁) Þ |B+1| < f(x)

    Kdyby bylo B+1=0, pak použijeme B+2.

$d₂>0 "x xÎP(c,d₂) Þ B-1 < f(x) < B+1

Definujme d, d = min(d₁,d₂).

Pro každé xÎP(c,d) tedy platí: f(x) < B+1 £ |B+1| < f(x), což je spor.

 

Obě limity nevlastní, navzájem různé, např. A = +¥, B = -¥.

$d₁>0 "x xÎP(c,d₁) Þ 1 < f(x)

$d₂>0 "x xÎP(c,d₂) Þ f(x) < -1

Definujme d, d = min(d₁,d₂).

Pro každé xÎP(c,d) tedy platí: f(x) < -1 < 1 < f(x), což je spor.