Věta:

Nechť a $d>0 tak, že "xÎP(a,d) f(x) = g(x).

Potom .

 

Důkaz.

Z definice limity ověříme, že .

Nechť je libovolně zvoleno e >0.

Pak z předpokladu  plyne

    $d1>0 "x xÎP(a,d1) Þ g(x)ÎU(A,e)

 

Zvolme d2, d2 = min(d1,d). Tedy P(a,d2) je výsledek průniku P(a,d1) a P(a,d).

Pro každé xÎP(a,d2) platí:

f(x) = g(x) ÎU(A,e)

 

A tedy skutečně .

Obr.

 

Konec důkazu.