Věta:

Nechť  a  a $d>0 xÎP(a,d) Þ g(x)¹A.

Potom .

 

Důkaz.

Z definice limity se přesvědčíme, že .

Nechť je libovolně zvoleno e>0.

Z předpokladů věty plyne

         $h>0 yÎP(A,h) Þ  êf(y) - Bú < e

$d1>0 xÎP(a,d1) Þ  êg(x) - Aú < h

Zvolme D, D = min(d,d1).

Pro xÎP(a,D) platí 0 < êg(x) - Aú < h

xÎP(a,D) Þ  g(x)ÎP(A,h) Þ  êf(g(x)) - Bú < e

 Je tedy skutečně .

Konec důkazu.