Důkaz:

Z definice limity ověříme, že .

A. Pro LÎR.

Nechť e>0 je zvoleno libovolně pevně.

Pak

         $d₁>0 "x xÎP(a,d₁) Þ L-e < f(x) < L+e

$d₂>0 "x xÎP(a,d₂) Þ L-e < h(x) < L+e

 

Z předpokladů věty víme, že

$d>0 "xÎP(a,d) f(x) £ g(x) £ h(x)

 

Zvolme D, D = min(d₁,d₂,d).

 

Pak pro xÎP(a,D) platí:

         L-e < f(x) £ g(x) £ h(x) < L+e

         L-e < g(x) < L+e

a tedy g(x)ÎU(a,e), což znamená, že .

Obr.

B. Pro L=+¥.

Nechť K je zvoleno libovolně pevně.

Pak

         $d₁>0 "x xÎP(a,d₁) Þ K < f(x)

 

Z předpokladů věty víme, že existuje

d>0 "xÎP(a,d) f(x) £ g(x) £ h(x)

 

Zvolme D, D = min(d₁,d).

 

Pak pro xÎP(a,D) platí:

         K < f(x) £ g(x) £ h(x)

         K < g(x)

a tedy  .

Obr.

 

C. Obdobně pro L= -¥.

Konec důkazu.