Věta:

Nechť .

Pak $d>0 "xÎP(a,d) f(x) < g(x).

 

Důkaz:

1. A, BÎR

Zvolme e, e = (B-A)/2.

Pak

    $d1>0 "x xÎP(a,d1) Þ A-e < f(x) < A+e

    $d2>0 "x xÎP(a,d2) Þ B-e < g(x) < B+e

Definujme d, d = min(d1,d2).

Pro každé xÎP(a,d) platí:

         f(x) < A+e = B-e < g(x)

         f(x) < g(x)

Obr.

2. AÎR, B = +¥

$d1>0 "x xÎP(a,d1) Þ A-1 < f(x) < A+1

    Kdyby bylo A+1=0, pak použijeme A+2.

$d2>0 "x xÎP(a,d2) Þ |A+1| < g(x)

Definujme d, d = min(d1,d2).

Pro každé xÎP(a,d) tedy platí:

    f(x) < A+1 £ |A+1| < g(x)

 

3. A = -¥, B = +¥.

$d1>0 "x xÎP(a,d1) Þ f(x) < -1

$d2>0 "x xÎP(a,d2) Þ 1 < g(x)

Definujme d, d = min(d1,d2).

Pro každé xÎP(a,d) tedy platí:

    f(x) < -1 < 1 < g(x)

 

Konec důkazu.