Úloha 12
| zobraz celé řešení | |
| << předchozí snímek | následující snímek>> |
 |
Zadání: Sestrojte řez krychle rovinou, která prochází bodem X a je rovnoběžná s rovinou AFH. K řešení této úlohy využijeme stereometrických vět a jejich důsledků.
Sestrojíme bod S a stranu řezu XS v přední stěně ABE dle věty 2 a pozměněného důsledku 2: Rovina AFH a rovina řezu mají být rovnoběžné a přitom jsou různoběžné s rovinou přední stěny, proto jsou průsečnice roviny přední stěny s rovinou AFH a rovinou řezu rovnoběžné.
Můžeme tedy sestrojit rovnoběžku ke straně AF procházející bodem X. Průnik rovnoběžky a hrany AB je hledaný bod S a úsečka XS je stranou řezu.
Sestrojíme bod T a stranu řezu ST v dolní podstavě ABC dle věty 2 a pozměněného důsledku 2: Rovina AFH a rovina řezu mají být rovnoběžné a přitom jsou různoběžné s rovinou horní podstavy, proto jsou průsečnice roviny horní podstavy s rovinou AFH a rovinou řezu rovnoběžné.
Zároveň také roviny horní a dolní podstavy jsou rovnoběžné, proto jsou průsečnice roviny řezu s rovinami horní a dolní podstavy také rovnoběžné. A když tyto dva důsledky spojíme, zjistíme, že průsečnice roviny horní podstavy s rovinou AFH a průsečnice roviny dolní podstavy s rovinou řezu jsou rovnoběžné. Můžeme tedy sestrojit rovnoběžku ke straně HF procházející bodem S. Průnik rovnoběžky a hrany AD je hledaný bod T a úsečka ST je další stranou řezu.
Sestrojíme bod U a stranu řezu TU v boční stěně ADE dle věty 2 a pozměněného důsledku 2: Rovina AFH a rovina řezu mají být rovnoběžné a přitom jsou různoběžné s rovinou boční stěny, proto jsou průsečnice roviny boční stěny s rovinou AFH a rovinou řezu rovnoběžné.
Můžeme tedy sestrojit rovnoběžku ke straně AH procházející bodem T. Průnik rovnoběžky a hrany DH je hledaný bod U a úsečka TU je další stranou řezu.
Sestrojíme bod V a stranu řezu UV v zadní stěně CDG dle důsledku 2: Roviny přední a zadní stěny jsou rovnoběžné a přitom různoběžné s rovinou řezu, proto jsou průsečnice roviny řezu s rovinami těchto stěn rovnoběžné.
Můžeme tedy sestrojit rovnoběžku ke straně řezu XS procházející bodem U. Průnik rovnoběžky a hrany GH je hledaný bod V a úsečka UV je další stranou řezu.
Sestrojíme bod W a stranu řezu VW v horní podstavě EFG dle důsledku 2: Roviny horní a dolní podstavy jsou rovnoběžné a přitom různoběžné s rovinou řezu, proto jsou průsečnice roviny řezu s rovinami těchto stěn rovnoběžné.
Můžeme tedy sestrojit rovnoběžku ke straně řezu ST procházející bodem V. Průnik rovnoběžky a hrany FG je hledaný bod W a úsečka VW je další stranou řezu.
Dle důsledku 1: Body X, W roviny řezu leží v rovině boční stěny, tedy i jejich spojnice leží v rovině této stěny. Průnik spojnice a stěny je další stranou řezu.
Nyní známe všechny vrcholy a strany mnohoúhelníku, který je řezem daného tělesa.
|
zobraz řešení interaktivně
 |
Sestrojíme bod S a stranu řezu XS v přední stěně ABE dle věty 2 a pozměněného důsledku 2: Rovina AFH a rovina řezu mají být rovnoběžné a přitom jsou různoběžné s rovinou přední stěny, proto jsou průsečnice roviny přední stěny s rovinou AFH a rovinou řezu rovnoběžné. Můžeme tedy sestrojit rovnoběžku ke straně AF procházející bodem X. Průnik rovnoběžky a hrany AB je hledaný bod S a úsečka XS je stranou řezu. |
 |
Sestrojíme bod T a stranu řezu ST v dolní podstavě ABC dle věty 2 a pozměněného důsledku 2: Rovina AFH a rovina řezu mají být rovnoběžné a přitom jsou různoběžné s rovinou horní podstavy, proto jsou průsečnice roviny horní podstavy s rovinou AFH a rovinou řezu rovnoběžné. Zároveň také roviny horní a dolní podstavy jsou rovnoběžné, proto jsou průsečnice roviny řezu s rovinami horní a dolní podstavy také rovnoběžné. A když tyto dva důsledky spojíme, zjistíme, že průsečnice roviny horní podstavy s rovinou AFH a průsečnice roviny dolní podstavy s rovinou řezu jsou rovnoběžné. Můžeme tedy sestrojit rovnoběžku ke straně HF procházející bodem S. Průnik rovnoběžky a hrany AD je hledaný bod T a úsečka ST je další stranou řezu. |
 |
Sestrojíme bod U a stranu řezu TU v boční stěně ADE dle věty 2 a pozměněného důsledku 2: Rovina AFH a rovina řezu mají být rovnoběžné a přitom jsou různoběžné s rovinou boční stěny, proto jsou průsečnice roviny boční stěny s rovinou AFH a rovinou řezu rovnoběžné. Můžeme tedy sestrojit rovnoběžku ke straně AH procházející bodem T. Průnik rovnoběžky a hrany DH je hledaný bod U a úsečka TU je další stranou řezu. |
 |
Sestrojíme bod V a stranu řezu UV v zadní stěně CDG dle důsledku 2: Roviny přední a zadní stěny jsou rovnoběžné a přitom různoběžné s rovinou řezu, proto jsou průsečnice roviny řezu s rovinami těchto stěn rovnoběžné. Můžeme tedy sestrojit rovnoběžku ke straně řezu XS procházející bodem U. Průnik rovnoběžky a hrany GH je hledaný bod V a úsečka UV je další stranou řezu. |
 |
Sestrojíme bod W a stranu řezu VW v horní podstavě EFG dle důsledku 2: Roviny horní a dolní podstavy jsou rovnoběžné a přitom různoběžné s rovinou řezu, proto jsou průsečnice roviny řezu s rovinami těchto stěn rovnoběžné. Můžeme tedy sestrojit rovnoběžku ke straně řezu ST procházející bodem V. Průnik rovnoběžky a hrany FG je hledaný bod W a úsečka VW je další stranou řezu. |
 |
Dle důsledku 1: Body X, W roviny řezu leží v rovině boční stěny, tedy i jejich spojnice leží v rovině této stěny. Průnik spojnice a stěny je další stranou řezu. |
 |
Nyní známe všechny vrcholy a strany mnohoúhelníku, který je řezem daného tělesa. |