Průměry kuželoseček

Průměry elipsy

Na střední škole se průměr elipsy definuje jako tětiva, která prochází středem elipsy (viz. Pomykalová [11] str. 50). Průměry ostatních kuželoseček se na střední škole vůbec nedefinují. Chceme-li vytvořit komplexnější nadhled nad průměry kuželoseček, budeme používat (pro elipsu) následující definici.

Definice: Průměrem elipsy budeme rozumět každou přímku procházející jejím středem S.

Průměr elipsy tedy není chápán jako úsečka, jak je tomu u kružnice, ale jedná se o celou přímku. Někdy se též hovoří o průměrové přímce. Občas ovšem potřebujeme hovořit o krajních, resp. koncových bodech průměru elipsy, pak budeme průměr chápat ve smyslu středoškolské definice. Rovněž, mluví-li se o délce průměru, myslí se tím samozřejmě délka příslušné tětivy elipsy. Chceme-li toto zdůraznit, nazýváme jej omezeným průměrem.

Pro průměry elipsy platí následující tvrzení, která doplňuje obrázek E6.1 :

Tvrzení E6.1: Spojnice průsečíku dvou tečen elipsy se středem tětivy, jejíž krajní body jsou body dotyku těchto tečen s danou elipsou, je průměr elipsy.

Tvrzení E6.2: Spojnice bodů dotyku dvou rovnoběžných tečen elipsy je jejím průměrem.

Tvrzení E6.3: Spojnice středů rovnoběžných tětiv elipsy je jejím průměrem.

Obrázek E6.1: Průměry elipsy: a) Tvrzení E6.1, b) Tvrzení E6.2, c) Tvrzení E6.3

Sdružené průměry elipsy

Definice: Dva průměry elipsy se nazývají sdružené, jsou-li tečny v krajních bodech jednoho průměru rovnoběžné s druhým průměrem a naopak.

Obrázek E6.2: Sdružené průměry elipsy - definice

Ke každému průměru elipsy tedy můžeme dohledat jeho sdružený průměr, je to jakási speciální dvojice. U kružnice jsou každé dva sdružené průměry navzájem kolmé. Zato u elipsy, která není kružnicí, existuje právě jedna dvojice sdružených a současně kolmých průměrů - hlavní a vedlejší osa.

Pro sdružené průměry platí tvrzení, která doplňuji obrázky E6.3 a E6.4:

Tvrzení E6.4: Každý ze dvou sdružených průměrů elipsy půlí její tětivy rovnoběžné s druhým průměrem.

Tvrzení E6.5: Úhlopříčky rovnoběžníka elipse opsaného jsou její sdružené průměry.

Tvrzení E6.6: Střední příčky rovnoběžníka elipse vepsaného jsou její sdružené průměry.

Tvrzení E6.7: Spojnice libovolného bodu elipsy s krajními body libovolného průměru jsou rovnoběžné se sdruženými průměry této elipsy.

Obrázek E6.3: Sdružené průměry elipsy: a) Tvrzení E6.4, b) Tvrzení E6.5

Obrázek E6.4: Sdružené průměry elipsy: a) Tvrzení E6.6, b) Tvrzení E6.7

Pozn.: Tvrzení byla čerpána z webových str. [W8].
Tvrzení by byla dokazována pomocí prostředků projektivní geometrie, proto zde důkazy uvedeny nejsou.