Úloha 1
| zobraz celé řešení | |
| << předchozí snímek | následující snímek>> |
 |
Zadání: Sestrojte řez rotačního válce rovinou XYZ, kde X, Y, Z jsou body umístěné na plášti válce, jak je naznačeno na obrázku. Při řešení úlohy využijeme osové afinity mezi rovinou řezu a rovinou dolní podstavy a za směr afinity s vezmeme směr osy válce.
Nejprve musíme najít osu afinity, která je průsečnicí roviny dolní podstavy a roviny řezu dané body XYZ.
K sestrojení osy afinity budeme potřebovat dva body. Jeden bod získáme pomocí bodů X, Y. Obrazem přímky XY je přímka X'Y', protože obrazem bodu X je bod X' a bodu Y je bod Y'. Průsečíkem přímky XY a přímky X'Y' je samodružný bod P, který bude ležet na ose afinity.
Druhý bod osy získáme pomocí bodů Y, Z.
Obrazem přímky YZ je přímka Y'Z', protože obrazem bodu Y je bod Y' a bodu Z je bod Z'. Průsečíkem přímky YZ a přímky Y'Z' je samodružný bod Q, který bude ležet na ose afinity.
Pomocí bodů P, Q již můžeme sestrojit osu afinity o.
K sestrojení elipsy, jejíž část je průsečnicí pláště daného tělesa a roviny řezu, nám stačí pět bodů. Body X, Y, Z, které určují rovinu řezu, jsou body průsečnice, protože leží na povrchu válce.
Další bod získáme pomocí bodů X, X' a U', kde bod X' je obraz bodu X a bod U' zvolíme libovolně na hranici dolní podstavy tělesa. Bodem U' vedeme rovnoběžku se směrem afinity. Bod R je průsečík přímky X'U' s osou o. Vzorem přímky X'U' je přímka XR a tedy průsečík přímky XR s rovnoběžkou se směrem s v bodě U' je bod elipsy U.
Pátý bod získáme pomocí bodů Z, Z' a V', kde bod Z' je obraz bodu Z a bod V' zvolíme libovolně na hranici dolní podstavy tělesa.
Bodem V' vedeme rovnoběžku se směrem afinity. Bod S je průsečík přímky Z'V' s osou o. Vzorem přímky Z'V' je přímka ZS a tedy průsečík přímky ZS s rovnoběžkou se směrem s v bodě V' je bod elipsy V.
Pomocí bodů X, Y, Z, U, V již můžeme sestrojit elipsu, jejíž část bude průsečnicí pláště daného tělesa a roviny řezu.
Ještě potřebujeme najít hranici řezu v horní podstavě. Touto hranicí je úsečka YW, kde body Y, W jsou průsečíky elipsy a horní podstavy.
Nyní známe vše potřebné k sestrojení řezu daného tělesa.
|
zobraz řešení interaktivně
 |
Nejprve musíme najít osu afinity, která je průsečnicí roviny dolní podstavy a roviny řezu dané body XYZ. K sestrojení osy afinity budeme potřebovat dva body. Jeden bod získáme pomocí bodů X, Y. Obrazem přímky XY je přímka X'Y', protože obrazem bodu X je bod X' a bodu Y je bod Y'. Průsečíkem přímky XY a přímky X'Y' je samodružný bod P, který bude ležet na ose afinity. |
 |
Druhý bod osy získáme pomocí bodů Y, Z. Obrazem přímky YZ je přímka Y'Z', protože obrazem bodu Y je bod Y' a bodu Z je bod Z'. Průsečíkem přímky YZ a přímky Y'Z' je samodružný bod Q, který bude ležet na ose afinity. |
 |
Pomocí bodů P, Q již můžeme sestrojit osu afinity o. |
 |
K sestrojení elipsy, jejíž část je průsečnicí pláště daného tělesa a roviny řezu, nám stačí pět bodů. Body X, Y, Z, které určují rovinu řezu, jsou body průsečníce, protože leží na povrchu válce. Další bod získáme pomocí bodů X, X' a U', kde bod X' je obraz bodu X a bod U' zvolíme libovolně na hranici dolní podstavy tělesa. Bodem U' vedeme rovnoběžku se směrem afinity. Bod R je průsečík přímky X'U' s osou o. Vzorem přímky X'U' je přímka XR a tedy průsečík přímky XR s rovnoběžkou se směrem s v bodě U' je bod elipsy U. |
 |
Pátý bod získáme pomocí bodů Z, Z' a V', kde bod Z' je obraz bodu Z a bod V' zvolíme libovolně na hranici dolní podstavy tělesa. Bodem V' vedeme rovnoběžku se směrem afinity. Bod S je průsečík přímky Z'V' s osou o. Vzorem přímky Z'V' je přímka ZS a tedy průsečík přímky ZS s rovnoběžkou se směrem s v bodě V' je bod elipsy V. |
 |
Pomocí bodů X, Y, Z, U, V již můžeme sestrojit elipsu, jejíž část bude průsečnicí pláště daného tělesa a roviny řezu. |
 |
Ještě potřebujeme najít hranici řezu v horní podstavě. Touto hranicí je úsečka YW, kde body Y, W jsou průsečíky elipsy a horní podstavy. |
 |
Nyní známe vše potřebné k sestrojení řezu daného tělesa. |