Vynásobíme-li výraz , který se rovná , výrazem , který se rovná , dostáváme následující vztah

.

Použijeme-li součtové vzorce pro sinus a kosinus , , dostáváme

.

Pokud budeme oba výrazy a chápat jako komplexní čísla zapsaná v goniometrickém tvaru, povede nás to k následující definici.

Definice

Máme-li dvě nenulová komplexní čísla a , pak jejich součinem nazveme komplexní číslo . Tento součin značíme .

Poznámka

Pravidlo pro násobení komplexních čísel v goniometrickém tvaru lze zobecnit na součin libovolného počtu činitelů:
.

Poznámka

Součin komplexního čísla a reálného čísla v Gaussově rovině má stejný argument jako dané komplexní číslo (protože reálné číslo má argument rovný nule a při násobení se argumenty sčítají) a jeho absolutní hodnota je součinem absolutních hodnot obou čísel.

Poznámka

Obraz součinu komplexního čísla a komplexní jednotky sestrojíme tak, že obraz tohoto čísla otočíme kolem počátku soustavy souřadnic o argument komplexní jednotky.

Příklady

1. Vypočtěte součin a výsledky zapište i v algebraickém tvaru.

a) ,

b) ,

2. Vypočítejte:

a)

převedeme do goniometrického tvaru.

b)

Vypočítáme .

převedeme do goniometrického tvaru.

Definice

Reciprokým číslem ke komplexnímu číslu vyjádřenému ve tvaru nazveme číslo

. Toto reciproké číslo označujeme .

Dvě komplexní čísla a
nazýváme reciproká, jestliže jejich absolutní

hodnoty jsou navzájem převrácená čísla a jejich argumenty se liší

znaménkem, tj. a .

Poznámka

Navzájem reciproká čísla musí mít opačný argument, protože při násobení se argumenty sčítají a . Součet jejich argumentů tedy musí dát nulu, protože .

Poznámka

Protože sinus a kosinus jsou funkce s periodou , k číslu jsou reciproká

všechna čísla , kde .

Poznámka

Čísla a jsou navzájem komplexně sdružená, opačná i reciproká.

Příklady

V goniometrickém tvaru s hlavní hodnotou arugumentu zapište čísla reciproká k následujícím číslům:

a)

b)

Číslo převedeme do goniometrického tvaru.

Vydělíme-li nenulový výraz , který se rovná , nenulovým výrazem , který se rovná  , dostáváme následující vztah

.

Použijeme-li součtové vzorce pro sinus a kosinus , a ,

dostáváme .

Pokud budeme oba výrazy a chápat jako komplexní čísla zapsaná v goniometrickém tvaru, povede nás to k následující definici.

Definice

Máme-li dvě nenulová komplexní čísla a , pak jejich podílem nazveme komplexní číslo

. Tento podíl značíme .

Věta

Pro každé platí .

Příklady

1. Vypočtěte podíl a výsledky zapište i v algebraickém tvaru.

a),

Číslo zapíšeme
v goniometrickém tvaru.

b),

2. V goniometrickém tvaru zapište čísla:

a)

Zlomek rozšíříme výrazem a vynásobíme.

b)

Číslo zapíšeme v goniometrickém tvaru a spočítáme podíl.

Poznámka

Pro komplexní čísla v goniometrickém tvaru je také možné zavést součet a rozdíl. Provádění těchto operací je však složité, musí se využívat součtové vzorce pro goniometrické funkce. Proto je zde definovat nebudeme a sčítat a odčítat budeme pouze čísla v algebraickém tvaru.