Komplexní čísla v algebraickém tvaru se sčítají a násobí obdobně jako dvojčleny.

Definice

Máme-li dvě komplexní čísla a , pak jejich součtem budeme nazývat komplexní číslo . Tento součet označujeme .

Příklady

Vypočtěte:

a)

b)

Definice

Máme-li dvě komplexní čísla a , pak jejich součinem budeme nazývat komplexní číslo . Tento součin označujeme .

Vzorec pro součin komplexních čísel nemusíme
znát zpaměti. Lze ho odvodit podle pravidel pro násobení dvojčlenů,
přičemž použijeme .

Poznámka

Součin nuly a libovolného komplexního čísla je roven nule.

Poznámka

Pro každá dvě komplexní čísla , platí, že .

Příklady

Vypočtěte:

a)

b)

c)

d)

Definice

Číslem převráceným neboli reciprokým ke komplexnímu číslu vyjádřenému ve tvaru nazýváme komplexní číslo , značíme ho .

Poznámka

Mějme komplexní číslo . Pak algebraický tvar komplexního čísla dostaneme, rozšíříme-li zlomek číslem :

Příklady

K následujícím komplexním číslům určete čísla převrácená a zapište je v algebraickém tvaru:

a)

Zlomek rozšíříme výrazem .

b)

Zlomek rozšíříme výrazem .

c)

d)

Zlomek rozšíříme výrazem .

Definice

Máme-li dvě komplexní čísla a , pak jejich rozdílem budeme nazývat komplexní číslo . Tento rozdíl označujeme .

Odečíst číslo od čísla znamená
přičíst k číslu číslo opačné k číslu .

Příklady

Vypočtěte:

a)

b)

Definice

Máme-li dvě komplexní čísla a , pak jejich podílem budeme nazývat komplexní číslo . Tento podíl označujeme .

Dělit číslo číslem znamená násobit
číslo číslem převráceným k číslu .
Chceme-li vynásobit , musíme rozšířit zlomek číslem ,
tedy .

Příklady

Vypočtěte:

a) Rozšíříme zlomek výrazem .

b) Rozšíříme zlomek výrazem .

c) Rozšíříme zlomek výrazem .

Věta

Pro libovolná komplexní čísla platí následující vlastnosti:

1)

Důkaz

2)

Důkaz

3)

Důkaz

Označíme , .

4)

Důkaz

Označíme , .

5)

Důkaz

Označíme , .

6)

Důkaz

Označíme , .

Věta

Pro libovolné komplexní číslo platí následující vlastnosti:

1)

Důkaz

2)

Důkaz

, protože součet dvou nezáporných reálných čísel je číslo nezáporné a odmocnina z nezáporného čísla je také číslo nezáporné.

3)

Důkaz

Věta

Pro libovolná dvě komplexní čísla , platí:

1)

Důkaz

Body jsou vrcholy rovnoběžníku v Gaussově rovině.
a) Z trojúhelníkové nerovnosti pro trojúhelník s vrcholy vyplývá, že .
Z trojúhelníkové nerovnosti pro trojúhelník s vrcholy vyplývá, že .
b) Protože trojúhelníková nerovnost pro trojúhelník s vrcholy platí pro všechny strany v trojúhelníku, lze dále napsat, že a . Jednoduchou úpravou obou nerovností dostáváme, že a . Čísla a jsou navzájem opačná. Protože jsou obě menší nebo rovna číslu , je menší nebo rovna číslu i jejich absolutní hodnota. Platí tedy, že .
Uvažujeme-li čísla , , dostaneme obdobným postupem .
Spojením kroků a) a b) dostáváme, že platí .

2)

Důkaz

3) Je-li , platí

Důkaz

>>další stránka<<>>nahoru<<