n-tou mocninou komplexního čísla , kde
je přirozené číslo,
rozumíme součin
čísel
.
Pro libovolná komplexní čísla ,
,
a přirozená čísla
,
platí následující vlastnosti:
Na začátku kapitoly bylo uvedeno, že pro imaginární jednotku platí .
Pro mocniny imaginární jednotky platí následující vlastnosti:
Obecně pro libovolné přirozené platí:
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
... |
![]() |
![]() |
... |
Počítáme-li druhou nebo třetí mocninu komplexního čísla v algebraickém
tvaru, můžeme použít vzorce
nebo
.
Chceme-li vypočítat -tou mocninu komplexního čísla
v algebraickém
tvaru, lze
použít binomickou větu , kde
.
Tento postup však může být v případě vyšších mocnin poměrně dlouhý a obtížný. Proto se pro umocňování komplexních čísel používá místo algebraického tvaru tvar goniometrický, kterému se budeme věnovat později. n-tá mocnina komplexního čísla v goniometrickém tvaru
n-tou mocninu komplexního čísla , kde
je celé záporné číslo,
definujeme jako
.
Pro libovolné komplexní číslo
definujeme
.
Součet druhých mocnin reálných čísel lze v oboru komplexních čísel vyjádřit jako součin:
V oboru obecně neplatí rovnost
, kde
. Pro každé
je totiž
,
a proto zmíněná rovnost
platí pouze pro čísla, pro něž
,
to znamená pro čísla reálná.
n-tou odmocninou z komplexního čísla , kde
, nazveme
každé takové komplexní číslo
, pro které platí
.
Je-li , má rovnice
právě jedno řešení
, takže
. Je-li
, rovnice
má v oboru komplexních čísel právě
různých řešení, která lze určit pomocí
goniometrického tvaru komplexního čísla. Postup při určování těchto řešení uvidíme dále.
(Komplexní) pro každé
,
, je
-značná, nabývá právě
různých komplexních hodnot.
Tím se odlišuje od (reálné)
pro
. (Reálná)
pro
, je totiž jednoznačná, nabývá právě jedné nezáporné hodnoty.
(Reálná)
pro
, je definována pouze pro
lichá.