V kapitole Násobení komplexních čísel v goniometrickém tvaru jsme vzorec pro násobení dvou komplexních čísel zobecnili pro činitelů, kde je přirozené číslo, čímž jsme dostali .
Pokud platí, že , pak vynásobením těchto čísel dostaneme -tou mocninu čísla . Odtud plyne vztah pro -tou mocninu komplexního čísla .

Definice

Máme-li komplexní číslo zapsané ve tvaru , pak n-tou mocninou tohoto komplexního čísla, kde je přirozené číslo, nazveme komplexní číslo . Tuto mocninu značíme .
Je-li , pak .

Moivreova věta

Pro každé přirozené číslo a libovoné reálné číslo platí .

Poznámka

Vzorec platí i pro .

Moivreovu větu můžeme použít k vyjádření funkcí , , pomocí funkcí , , kde je přirozené číslo.

Řešený příklad

Příklady

1. Vypočtěte a výsledek uveďte v algebraickém tvaru:

a)

Číslo zapíšeme v goniometrickém tvaru s hlavní hodnotou argumentu.

b)

Číslo zapíšeme v goniometrickém tvaru s hlavní hodnotou argumentu.

c)

Číslo zapíšeme v goniometrickém tvaru.

Definice

n-tou odmocninou , kde , z komplexního čísla nazveme každé komplexní číslo , pro které platí .

K určení -té odmocniny z čísla stačí řešit rovnici .

Poznámka

Každé řešení rovnice je -tou odmocninou z čísla .

Je-li , pak pro libovolné má rovnice právě jedno řešení .
Je-li , pak také . Vyjádříme-li obě čísla v goniometrickém tvaru , , pak rovnice má tvar .

Dvě komplexní čísla se rovnají, pokud jsou si rovny jejich absolutní hodnoty a zároveň pokud se jejich argumenty rovnají nebo liší o celočíselný násobek . Proto z odvozené rovnosti plyne, že
a
neboli
a
.

Podle toho všechna řešení rovnice (tedy -té odmocniny z čísla ) můžeme zapsat ve tvaru

, kde . Pro další

už nedostaneme nová řešení, protože argumenty se budou lišit o celočíselný násobek .

Vidíme tedy, že všechny -té odmocniny z mají stejnou absolutní hodnotu a jejich argumenty

se liší o násobek .

To znamená, že obrazy komplexních čísel, která jsou -tými odmocninami z čísla pro , jsou vrcholy pravidelného -úhelníka vepsaného do kružnice se středem v počátku a poloměrem . Pro jsou komplexními odmocninami dvě opačná komplexní čísla.

Všechny předcházející poznatky lze shrnout do následující věty.

Věta

Je-li nenulové komplexní číslo a je celé kladné číslo, pak existuje právě komplexních čísel, která jsou -tou odmocninou z , tj. takových čísel , že . Jsou to čísla

,

kde .

Příklady

Vypočtěte odmocniny (tj. všechny kořeny příslušných binomických rovnic) z následujících komplexních čísel:

a)

Číslo zapíšeme v goniometrickém tvaru a spočítáme všechna řešení rovnice.

, kde

b)

Číslo zapíšeme v goniometrickém tvaru a spočítáme všechna řešení rovnice.

, kde

c)

Číslo zapíšeme v goniometrickém tvaru a spočítáme všechna řešení rovnice.

, kde