Obrazem libovolného komplexního čísla v Gaussově rovině je bod , který lze zadat pomocí kartézských souřadnic. Za jeho -ovou souřadnici vezmeme reálnou část čísla , za -ovou souřadnici imaginární část čísla . Tento způsob zadávání obrazů komplexních čísel se využívá pro komplexní čísla ve tvaru uspořádaných dvojic a v algebarickém tvaru.

Vedle tohoto způsobu existuje ještě jiný. Obraz nenulového komplexního čísla lze určit pomocí jeho vzdálenosti od počátku kartézské soustavy souřadnic a velikosti orientovaného úhlu, jehož počáteční rameno je kladná poloosa a koncové rameno polopřímka . Tento způsob se využívá pro komplexní čísla v goniometrickém tvaru.

Obraz komplexního čísla takto nelze zadat, protože bod splyne s počátkem soustavy a body potom neurčují žádnou polopřímku, takže nelze určit velikost orientovaného úhlu.

Definice

Zápis nenulového komplexního čísla ve tvaru nazýváme goniometrickým tvarem komplexního čísla . Kladné číslo nazýváme absolutní hodnotou čísla . Reálné číslo se nazývá argument komplexního čísla a zadávat ho lze ve stupních nebo v radiánech.

Poznámka

Komplexní číslo dané v goniometrickém tvaru zapisujeme .

Nechť bod je obrazem komplexního čísla v Gaussově rovině. Algebraický tvar čísla je . Protože platí, že

, a ,

je souvislost mezi algebraickým a goniometrickým tvarem komplexního čísla vyjádřena zápisem.

Poznámka

Kosinus je sudá funkce, proto . Sinus je lichá funkce, proto . A tedy .

Protože funkce kosinus a sinus jsou periodické s periodou , goniometrický tvar komplexního čísla není určen jednoznačně. Je-li totiž číslo argumentem komplexního čísla , pak jím je také každé reálné číslo tvaru , kde . Je-li , říkáme mu
hlavní hodnota argumentu čísla a goniometrický tvar tohoto čísla je pak určen jednoznačně.

Poznámka

Budeme-li při řešení příkladů uvádět výsledky v goniometrickém tvaru, budeme argumenty převádět na jejich hlavní hodnoty.

Poznámka

Je-li komplexní jednotka, pak goniometrický tvar tohoto čísla je , kde je příslušný argument.

Řešený příklad

V goniometrickém tvaru s hlavní hodnotou argumentu zapište číslo .

Zadané číslo chceme vyjádřit ve tvaru , kde .
Vypočítáme absolutní hodnotu čísla:
Určíme argument čísla: , tedy nebo
, tedy nebo
A tedy .
Goniometrický tvar je .

Příklad

V goniometrickém tvaru s hlavní hodnotou argumentu zapište číslo .

Pokud , potom .

nebo

nebo
tedy

Máme-li zapsat komplexní číslo v goniometrickém tvaru, lze použít také následující postup, který bývá rychlejší.

Řešený příklad

V goniometrickém tvaru s hlavní hodnotou argumentu zapište číslo .
Spočítáme absolutní hodnotu čísla:

Podle znamének u jednotlivých složek čísla určíme, ve kterém kvadrantu Gaussovy roviny obraz tohoto čísla leží. V našem případě jsou obě znaménka záporná, takže obraz čísla leží ve třetím kvadrantu.
Pokud budeme dále uvažovat komplexní číslo, jehož obě složky jsou kladné, tj. leží v prvním kvadrantu,

pro jeho argument platí: , tedy

Naše číslo však leží ve třetím kvadrantu, proto ve skutečnosti .
Goniometrický tvar je .

Příklady

1. V goniometrickém tvaru s hlavní hodnotou argumentu napište následující komplexní čísla:

a)

Pokud , potom .

Číslo leží v prvním kvadrantu.

b)

Pokud , potom .

leží v kladné části imaginární osy.

c)

Pokud , potom .

Číslo leží v záporné části reálné osy.

d)

Pokud , potom .

Číslo leží ve čtvrtém kvadrantu.

e)

Absolutní hodnota podílu je podíl absolutních hodnot. Pokud , potom .

Zlomek rozšíříme výrazem .

Číslo leží ve druhém kvadrantu.

f)

Číslo leží v kladné části reálné osy.

a)

b)

Číslo zapíšeme s hlavní hodnotou argumentu.

c)

Číslo zapíšeme s hlavní hodnotou argumentu.

d)