Komplexní čísla
Komplexní čísla jako uspořádané dvojice
Titulní stránka Úvod Uspořádané dvojice Definice Klasifikace Rovnost Absolutní hodnota Komplexně sdružené č. Opačné číslo Operace Geometrické znázornění Algebraický tvar Úlohy k opakování I Goniometrický tvar Rovnice Úlohy k opakování II Odkazy Literatura

Definice komplexních čísel

Komplexním číslem nazýváme uspořádanou dvojici reálných čísel a , píšeme . Číslu říkáme reálná část komplexního čísla , číslu imaginární část komplexního čísla .

Klasifikace komplexních čísel

Nechť je komplexní číslo.

Je-li , pak je reálné číslo a lze použít zápis . Uspořádaná dvojice je pouze jinou formou vyjádření reálného čísla .

Je-li , pak nazýváme imaginární číslo. Je-li zároveň , pak číslu říkáme ryze imaginární číslo.

Rovnost komplexních čísel

Definice

Dvě komplexní čísla ve tvaru uspořádaných dvojic jsou si rovna, právě když jsou si rovny jejich reálné části a jejich imaginární části.



 >>nahoru<<

Absolutní hodnota komplexního čísla

Definice

Absolutní hodnotou komplexního čísla vyjádřeného ve tvaru nazveme reálné číslo , značíme ji .

Komplexní číslo, jehož absolutní hodnota je rovna 1, se nazývá komplexní jednotka.

Příklady komplexních jednotek

Příklady

1. Určete absolutní hodnotu následujících komplexních čísel:
a)
b)
c)

2. Ověřte, zda jsou následující komplexní čísla komplexní jednotkou:
a) Číslo je komplexní jednotka, pokud .
b) Číslo je komplexní jednotka, pokud .

Poznámka

Komplexní čísla nelze uspořádat podle velikosti ani rozlišit na kladná a záporná.

>>nahoru<<

Číslo komplexně sdružené

Definice

Číslem komplexně sdruženým ke komplexnímu číslu vyjádřenému ve tvaru nazýváme komplexní číslo , značíme ho .

Číslo je komplexně sdružené k číslu ,
pokud se tato dvě čísla liší pouze znaménkem
u imaginární části.

Příklady

Určete čísla komplexně sdružená k následujícím číslům:
a)
b)
c)
d)
>>nahoru<<

Opačné komplexní číslo

Definice

Opačným číslem ke komplexnímu číslu vyjádřenému ve tvaru nazýváme číslo , značíme ho .

Číslo je opačné k číslu , pokud se tato
dvě čísla liší znaménky u reálné i imaginární části.

Příklady

Určete opačná čísla k následujícím číslům:
a)
b)
c)
d)
>>nahoru<<

Operace s komplexními čísly ve tvaru uspořádaných dvojic

Definice

Máme-li dvě komplexní čísla a , pak jejich součtem budeme nazývat komplexní číslo . Tento součet značíme .

Sčítání komplexních čísel ve tvaru
uspořádaných dvojic se provádí po
složkách, tzn. sečteme nejprve první
složky a potom druhé složky čísel.

Příklady

Určete součet následujících dvou čísel:
a) ,
b) ,

Definice

Máme-li dvě komplexní čísla a , pak jejich rozdílem budeme nazývat komplexní číslo . Tento rozdíl značíme .

Odčítání komplexních čísel ve tvaru
usp. dvojic provedeme po složkách,
tzn. nejprve odečteme první složky
a potom druhé složky čísel.

Příklady

Určete rozdíl následujících dvou čísel:
a) ,
b),

Definice

Máme-li dvě komplexní čísla a , pak jejich součinem budeme nazývat komplexní číslo . Tento součin značíme .

Příklady

Určete součin následujících dvou čísel:
a) ,
b) ,
>>nahoru<<

Poznámka

V oboru komplexních čísel (stejně jako v oboru reálných čísel) má sčítání a násobení následující vlastnosti:

  • Sčítání a násobení je komutativní.
  • Sčítání a násobení je asociativní.
  • Násobení je distributivní vzhledem ke sčítání.
  • Ke každému číslu existuje jediné opačné číslo.
  • Ke každému nenulovému číslu existuje jediné číslo takové, že jejich součin je roven jedné.
  • Je-li součin dvou reálných čísel roven nule, je rovno nule aspoň jedno z nich.

Poznámka

Provádět operace s komplexními čísly je výhodnější, jsou-li tato čísla zapsána v algebraickém nebo goniometrickém tvaru. Proto se na tomto místě operacemi nebudeme více zabývat ani je procvičovat. Vrátíme se k nim později, kdy budeme také definovat podíl komplexních čísel.

Sčítání a násobení komplexních čísel v algebraickém tvaru
Násobení komplexních čísel v goniometrickém tvaru >>další stránka<<>>nahoru<<
Lenka Šilarová, 2006