Algebraické rovnice n-tého stupně
Na střední škole jsou probírány kromě algebraických rovnic, také rovnice nealgebraické. Nealgebraické rovnice jsou například rovnice iracionální, exponenciální, logaritmické nebo goniometrické. My se ale nadále budeme věnovat pouze algebraickým rovnicím.
Definice
Rovnici ve tvaru a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} +...+ a_2x^2 + a_1x + a_0 = 0, kde a_n \neq 0, a_n, a_{n-1},..,a_0 jsou komplexní koeficienty a n \in \mathbb{N}, nazýváme algebraickou rovnicí n-tého stupně s jednou neznámou x \in \mathbb{M}.
Algebraickou rovnici n-tého stupně s jednou neznámou x budeme zapisovat P_n(x) = 0.
Pokud a_n = 1, je algebraická rovnice v normovaném tvaru.
Levá strana rovnice je mnohočlen n-tého stupně s proměnnou x \in \mathbb{M}. Proto řešení algebraických rovnic úzce souvisí s hledáním kořenů mnohočlenu.
Prozradíme si pár základních vět, které nám budou pomáhat při hledání kořenů algebraických rovnic.
Věta
Každá algebraická rovnice P_n(x) = 0 s komplexními koeficienty, kterou řešíme v množině komplexních čísel, má alespoň jeden komplexní kořen.
Předchozí věta je nazývána základní větou algebry. Důkaz této věty je poměrně zdlouhavý a lze ho najít v například v knize Základy algebry D. Stanovského.
Poznámka
Dále se budeme věnovat pouze rovnicím s reálnými koeficienty. Rovnice však budeme řešit v množině \mathbb{M}, která bude nejčastěji množinou komplexních čísel.Věta
Pokud je číslo b \in \mathbb{M} kořenem algebraické rovnice P_n(x) = 0, kde n \in \mathbb{N}, lze mnohočlen P_n(x) rozložit na součin P_n(x) = (x - b) * Q_{n-1}(x), kde Q_{n-1}(x) je mnohočlen nižšího stupně, a to stupně n-1.
Je dána rovnice x^3 + 6x + 11x + 6 = 0 s neznámou x \in \mathbb{R}. Rozložte mnohočlen na levé straně rovnice na součin, jestliže znáte kořen rovnice x_1 = -1.
- Pro určení rozkladu vydělíme levou stranu rovnice dvojčlenem (x + 1), nebo využijeme Hornerovo schéma, čímž zjistíme mnohočlen Q_{n-1} z předchozí věty.
- (x^3 + 6x + 11x + 6) : (x + 1) = x^2 + 5x + 6
1 6 11 6 -1 -1 -5 -6 1 5 6 0 - V posledním řádku tabulky vidíme koeficienty mnohočlenu Q_{n-1}. Mnohočlen Q_{n-1} je tedy tvaru x^2 + 5x + 6.
- Rozklad P_n(x) = (x - b) * Q_{n-1}(x) je P_n(x)=(x+1)(x^2 + 5x + 6).
Při řešení lineárních rovnic v součinovém tvaru jsme si řekli tvrzení, že součin dvou nebo více výrazů je roven nule právě tehdy, když je alespoň jeden z výrazů roven nule. Díky tvrzení jsme snadno rovnice tohoto typu vyřešili. Tvrzení budeme využívat i při řešení rovnic vyšších stupňů.
Věta
Jsou dány mnohočleny P_n(x),Q_m(x), kde m,n \in \mathbb{N}. Potom algebraická rovnice v součinovém tvaru P_n(x)*Q_m(x)=0 s neznámou x \in \mathbb{M} je ekvivalentní s příslušnou soustavou algebraických rovnic P_n(x)=0, Q_m(x)=0 s neznámou x \in \mathbb{M}.
Řešte rovnici (x^2 + 3x + 2)(2x^2-x-15) = 0 s neznámou x \in \mathbb{R}.
- \mathbb{M}=\mathbb{R}, \mathbb{D}=\mathbb{R}
- Dle věty výše vyřešíme rovnice (x^2 + 3x + 2)= 0 a (2x^2-x-15) = 0.
- První rovnice má řešení: (x + 1)(x + 2)= 0 .... x_1 = -1, x_2 = -2, \mathbb{K_1} = \left \{-1, -2 \right \}
- Druhá rovnice má řešení: (x - 3)(2x + 5)= 0 .... x_3 = 3, x_4 = -\frac{5}{2}, \mathbb{K_2} = \left \{ 3, -\frac{5}{2} \right \}
- Řešením původní rovnice (x^2 + 3x + 2)(2x^2-x-15) = 0 je sjednocení množin řešení první a druhé rovnice.
- \mathbb{K} = \mathbb{K_1} \cup \mathbb{K_2} = \left \{-1, -2, 3, -\frac{5}{2} \right \}
Věta
Algebraická rovnice n-tého stupně P_n(x) = 0 s neznámou x \in \mathbb{M} má v množině komplexních čísel nejvýše n různých kořenů.
Označme tyto různé kořeny x_1, x_2, ..., x_j \in \mathbb{M}, kde j \le n.
Potom lze mohočlen P_n(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_1x + a_0 rozložit na součin
P_n(x) = a_n{(x - x_1)}^{k_1}{(x - x_2)}^{k_2}...(x - x_j)^{k_j},
kde k_1, k_2, ..., k_j \in \mathbb{N} , a platí k_1 + k_2 + ... + k_j = n .
Lineární dvojčleny (x - x_j), j \le n, nazýváme kořenové činitele mnohočlenu P_n(x).
Číslo k_j určuje násobnost kořene a kořen x_j \in \mathbb{M} nazýváme k_j-násobným kořenem rovnice P_n(x) = 0 .
Řešte algebraickou rovnici x^2 + 2x + 1 = 0 s neznámou x \in \mathbb{R}.
- \mathbb{M}=\mathbb{R}, \mathbb{D}=\mathbb{R}
- Levou stranu rovnice lze rozložit na součin kořenových činitelů, a to (x + 1)(x + 1) = 0.
- Lze psát též ve tvaru {(x + 1)}^2 = 0.
- Kořenem rovnice je číslo x_{1,2} = 1 a nazýváme ho dvojnásobným kořenem.
- \mathbb{K} = \left \{ 1 \right \}
Celočíselné kořeny
Věta
Je dána algebraická rovnice a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} +...+ a_2x^2 + a_1x + a_0 = 0 s neznámou x \in \mathbb{M}, kde a_n \neq 0, a_0 \neq 0, a_n, a_{n-1},..,a_0 \in \mathbb{Z} a n \in \mathbb{N}.
Je-li číslo b \in \mathbb{Z} kořenem rovnice, potom je dělitelem absolutního členu a_0.
Věta výše nám dává návod, jak nalézt všechny možné celočíselné kořeny. Důkaz lze najít v knize E. Caldy. Toto tvrzení obráceně neplatí! Číslo, které je dělitelem absolutního členu, nemusí být kořenem rovnice. Každé číslo z množiny dělitelů musí tedy ještě splňovat vlastnost, že po dosazení čísla do rovnice platí rovnost levé a pravé strany rovnice, což je vlastnost kořene rovnice.
PříkladŘešte algebraickou rovnici x+6 = 0 s neznámou x \in \mathbb{Z}.
- \mathbb{M}=\mathbb{Z}, \mathbb{D}=\mathbb{Z}
- Dělitelé absolutního členu a_0=6 tvoří množinu \left \{ \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6 \right \}.
- Pokud dosadíme postupně všechna čísla do rovnice, zjistíme, že pouze číslo -6 je kořenem rovnice, přestože i číslo 2 dělí absolutní člen.
- \mathbb{K} = \left \{ -6 \right \}
Příklad
Řešte algebraickou rovnici x^3 + 3x^2 - 2x - 6 = 0 s neznámou x \in \mathbb{Z}.
- \mathbb{M}=\mathbb{Z}, \mathbb{D}=\mathbb{Z}
- Dělitelé absolutního členu a_0=-6 tvoří množinu \left \{ \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6 \right \}.
- Postupně dosazujeme čísla z množiny dělitelů do rovnice, abychom zjistili, která čísla jsou kořeny rovnice.
- (-3)^3 + 3*(-3)^2 - 2*(-3) - 6 = -27 + 27 + 6 - 6 = 0
- Řešením rovnice je pouze číslo x = -3.
- \mathbb{K} = \left \{ -3 \right \}
Racionální kořeny
Pokud rovnice nemá žádné celočíselné kořeny, lze použít následující větu, která nám říká, jak hledat racionální kořeny.
Uvažujeme algebraickou rovnici a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} +...+ a_2x^2 + a_1x + a_0 = 0 s neznámou x \in \mathbb{M}, kde a_n \neq 0, a_0 \neq 0, a_n, a_{n-1},..,a_0 jsou racionální koeficienty a n \in \mathbb{N}. Tuto rovnici lze ekvivalentními úpravami, tj. převedením na společného jmenovatele a tímto jmenovatelem rovnici vynásobit, převést na rovnici s celočíselnými koeficienty b_nx^n + b_{n-1}x^{n-1} +...+ b_2x^2 + b_1x + b_0 = 0 s neznámou x \in \mathbb{M}.
Věta
Je dána algebraická rovnice b_nx^n + b_{n-1}x^{n-1} +...+ b_2x^2 + b_1x + b_0 = 0, kde b_n \neq 0, b_0 \neq 0, b_n, b_{n-1},..,b_0 \in \mathbb{Z} a n \in \mathbb{N}.
Nechť r, s jsou celá nesoudělná čísla. Je-li číslo \frac {r}{s} kořenem rovnice, potom platí, že r dělí absolutní člen b_0 a s dělí vedoucí koeficient b_n.
Věta je zobecněním věty o hledání celočíselných kořenů, proto díky této obecnější verzi získáme též celočíselné kořeny, protože \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q}. Důkaz věty lze opět najít v knize E. Caldy.
Poznámka
Dvě čísla nazýváme nesoudělná právě tehdy, když je jejich největší společný dělitel roven jedné.
Řešte algebraickou rovnici 2x^3 - x^2 - 6x + 3 = 0 s neznámou x \in \mathbb{Q}.
- \mathbb{M}=\mathbb{Q}, \mathbb{D}=\mathbb{Q}
- Množina všech dělitelů r \in R absolutního členu a_0 = 3 je R = \left \{ \pm 1, \pm 3 \right \}.
- Množina všech dělitelů s \in S vedoucího koeficientu a_n = 2 je S = \left \{ \pm 1, \pm 2 \right \}.
- Dostáváme množinu, označme ji netradičně \frac {R}{S}, kde čísla \frac {r}{s} \in \frac {R}{S}.
\frac {R}{S} = \left \{ \pm 1, \pm \frac {1}{2}, \pm 3, \pm \frac {3}{2} \right \}. - Postupně dosazujeme čísla z množiny \frac {R}{S} do rovnice, abychom zjistili, které z čísel vyhovuje rovnici.
- 2*(\frac {1}{2})^3 - (\frac {1}{2})^2 - 6*(\frac {1}{2}) + 3 = 0
- Kořenem rovnice je pouze číslo x = \frac {1}{2}.
- \mathbb{K} = \left \{\frac {1}{2} \right \}
Abychom vždy nemuseli ověřovat všechna čísla \frac {r}{s} \in \frac {R}{S}, existuje tvrzení, díky kterému se počet prvků v množině zmenší.
Věta
Předpokládáme, že \frac {r}{s}, kde r, s jsou celá nesoudělná čísla, je racionálním kořenem rovnice b_nx^n + b_{n-1}x^{n-1} +...+ b_2x^2 + b_1x + b_0 = 0, kde b_n \neq 0, b_0 \neq 0, b_n, b_{n-1},..,b_0 \in \mathbb{Z} a n \in \mathbb{N}. Označme L(1) číslo získané dosazením čísla 1 do levé strany rovnice a L(-1) číslo získané dosazením čísla -1 do levé strany rovnice.
Potom platí, že (r - s) dělí L(1) a (r + s) dělí L(-1).
Vrátíme se k předchozímu příkladu a použijeme větu výše. Řešíme tedy algebraickou rovnici 2x^3 - x^2 - 6x + 3 = 0 s neznámou x \in \mathbb{Q}.
- \mathbb{M}=\mathbb{Q}, \mathbb{D}=\mathbb{Q}
- Množina všech dělitelů r \in R absolutního členu a_0 = 3 je R = \left \{ \pm 1, \pm 3 \right \}.
- Množina všech dělitelů s \in S vedoucího koeficientu a_n = 2 je S = \left \{ \pm 1, \pm 2 \right \}.
- L(1)=2-1-6+3=-2
- L(-1)=-2-1+6+3=6
- Tvrzení, že (r - s)/L(1) a zároveň (r + s)/L(-1) nám zredukuje množinu \frac {R}{S} = \left \{ \pm 1, \pm \frac {1}{2}, \pm 3, \pm \frac {3}{2} \right \} na množinu \frac {\tilde{R}}{\tilde{S}} = \left \{ - 1, \frac {1}{2}, 3, \frac {3}{2} \right \}.
- Vidíme, že se nám počet čísel, které musíme ověřit zmenšil na polovinu.
- \mathbb{K} = \left \{\frac {1}{2} \right \}
