Reciproké rovnice

Definice

Je dána algebraická rovnice n-tého stupně a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} +...+ a_2x^2 + a_1x + a_0 = 0 s neznámou x \in \mathbb{M}, kde a_n, a_{n-1},..,a_0 \in \mathbb{C} , a_n \neq 0 a n \in \mathbb{N}.

Platí-li pro koeficienty a_k = a_{n-k}, kde k \in \mathbb{N}, tak rovnici nazýváme reciprokou rovnicí I. druhu (resp. kladně reciprokou rovnicí) n-tého stupně s neznámou x \in \mathbb{M}, v případě, že platí rovnost koeficientů a_k = -a_{n-k} , kde k \in \mathbb{N}, rovnici nazýváme reciprokou rovnicí II. druhu (resp. záporně reciprokou rovnicí) n-tého stupně s neznámou x \in \mathbb{M}.

Výraz na levé straně rovnice nazýváme reciproký mnohočlen. Budeme ho značit R_n(x).


Příklad
Zjistěte, zda jsou následující rovnice reciproké. V kladném případě určete druh reciproké rovnice.
Řešení
    Porovnáním koeficientů podle definice zjistíme, zda jde o reciprokou rovnici, případně zda je rovnice I. nebo II. druhu.
  • 2x^3 + 3x^2 + 3x + 2 = 0
        a_3 = 2 = a_0
        a_2 = 3 = a_1
    Je to reciproká rovnice I.druhu třetího stupně.

  • 3x^4-5x^3+8x^2-5x+3=0
        a_4 =   3 = a_0
        a_3 = -5 = a_1
        a_2 =   8 = a_2
    Je to reciproká rovnice I.druhu čtvrtého stupně.

  • 12x^4 - 25x^3 + 25x - 12 = 0
        a_4 =   12 = -a_0
        a_3 = -25 = -a_1
    Je to reciproká rovnice II.druhu čtvrtého stupně.

  • 12x^4 - 25x^3 + 5x^2 + 25x - 12 = 0
        a_4 =   12 = -a_0
        a_3 = -25 = -a_1
        a_2 =    5 \neq -a_2
    Není to reciproká rovnice.

Poznámka

Uvažujme reciprokou rovnici sudého stupně, kde n = 2m a m \in \mathbb{N}. Potom je koeficient a_m libovolný pro reciprokou rovnici I. druhu, nebo koeficient a_m musí být roven nule pro reciprokou rovnici II. druhu.


Kořeny reciproké rovnice

V definici předpokládáme, že koeficient a_n u vedoucího členu je nenulový. Z definice reciproké rovnice je tedy i absolutní člen a_0 nenulový. Z těchto poznatků plyne věta:

Věta

Reciproká rovnice má všechny kořeny nenulové.

Věta

Pokud je číslo x_1 kořenem reciproké rovnice, pak je kořenem rovnice i převrácené (reciproké) číslo \frac{1}{x_1}.

Z této vlastnosti pro kořeny plyne název reciproká rovnice .

Příklad
Je dána reciproká rovnice 3x^2 - 10x + 3 = 0 s neznámou x \in \mathbb{R}. Jedním kořenem je číslo 3. Ověřte, že i číslo \frac{1}{3} je kořenem dané rovnice.
Řešení
  • Číslo \frac{1}{3} dosadíme do rovnice 3x^2 - 10x + 3 = 0:
    3*({\frac{1}{3}})^2 - 10*\frac{1}{3} + 3 = 3*\frac{1}{9} - \frac{10}{3} + 3 = -\frac{9}{3}+3=0
  • Číslo \frac{1}{3} je také kořenem rovnice.

Věta

Reciproká rovnice I. druhu lichého stupně má vždy kořen x_1=-1.

Příklad
Je dána reciproká rovnice x^3 + 3x^2 + 3x + 1 = 0 s neznámou x \in \mathbb{R}. Ověřte, že číslo -1 je kořenem dané rovnice.
Řešení
  • Pro koeficienty rovnice platí a_3 = a_0 = 1, a_2 = a_1 = 3, proto je rovnice reciproká I. druhu.
  • Číslo -1 dosadíme do rovnice x^3 + 3x^2 + 3x + 1 = 0:
    1*(-1)^3 + 3*(-1)^2 + 3*(-1) + 1 = 0
  • Číslo -1 je kořenem rovnice.

Věta

Reciproká rovnice II. druhu má vždy kořen x_1=1.

Příklad
Je dána reciproká rovnice 2x^3 - x^2 + x - 2 = 0 s neznámou x \in \mathbb{R}. Ověřte, že číslo 1 je kořenem dané rovnice.
Řešení
  • Pro koeficienty rovnice platí a_3 = 2 = -a_0, a_2 = -1 = -a_1, proto je rovnice reciproká II. druhu.
  • Číslo 1 dosadíme do rovnice 2x^3 - x^2 + x - 2 = 0:
    2*1^3 - 1*1^2 + 1*1 - 2 = 0
  • Číslo 1 je kořenem rovnice.

Poznámka

Je zřejmé, že kořeny +1, -1 jsou reciproká čísla. Lze je napsat ve tvaru 1 = \frac{1}{1} a -1 = \frac{1}{-1}.

Důkazy těchto tvrzení lze nalézt v knize Základy algebry (V. Kořínek) v kapitole 9. Tvrzení o kořenech +1, -1 plyne z definice reciproké rovnice, a to z rovnosti příslušných koeficientů. Máme-li reciprokou rovnici I. druhu lichého stupně a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} +...+ a_2x^2 + a_1x + a_0 = 0, kde a_k = a_{n-k}, vytkneme z prvního a posledního členu, druhého a předposledního členu atd. společný koeficient této dvojice členů. Tímto získáme tvar rovnice a_n(x^n + 1) + a_{n-1}x(x^{n-2} + 1)+ a_{n-2}x^2(x^{n-3} + 1) + ... = 0 z kterého dopočítáme kořen -1. Analogicky bychom postupovali i pro kořen +1.


Řešení reciproké rovnice

Uvažujeme rovnici ve tvaru R_n(x)=0, kde R_n(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} +...+ a_2x^2 + a_1x + a_0 a x \in \mathbb{M} je neznámá.

Řešení reciproké rovnice I. druhu

  • Řešení reciproké rovnice sudého stupně, kde n=2m, m \in \mathbb{N}.
    1. Levou stranu rovnice (tj. R_{2m}(x)) vydělíme výrazem x^m (x \neq 0).
      a_{2m}x^{2m} + a_{2m-1}x^{2m-1} + a_{2m-2}x^{2m-2} + ... + a_mx^m + ... + a_2x^2 + a_1x + a_0 = 0 .... / x^m
      a_{2m}x^{m}+ a_{2m-1}x^{m-1} + a_{2m-2}x^{m-2} + ... + a_m + ... + a_2 \frac{1}{x^{m-2}} + a_1 \frac{1}{x^{m-1}} + a_0 \frac{1}{x^{m}} = 0
    2. Mnohočlen R_{2m}(x) má symetricky uspořádané koeficienty podle členu a_mx^m (tj. a_{2m}=a_0, a_{2m-1}=a_1, ...). Vytkneme z prvního a posledního členu, druhého a předposledního členu atd. společný koeficient této dvojice členů.
      a_{2m}x^{m} + a_{2m-1}x^{m-1} + a_{2m-2}x^{m-2} + ... + a_m + ... + a_2 \frac{1}{x^{m-2}} + a_1 \frac{1}{x^{m-1}} + a_0 \frac{1}{x^{m}} = 0
      a_{2m}(x^{m} + \frac{1}{x^{m}}) + a_{2m-1}(x^{m-1}+\frac{1}{x^{m-1}}) + a_{2m-2}(x^{m-2}+\frac{1}{x^{m-2}}) + a_m + ... = 0
    3. Nyní použijeme substituci y = x + \frac{1}{x}. Postupným umocňováním základního vztahu substituce získáme y^2 - 2 = x^2 + \frac{1}{x^2}, y^3 - 3y = x^3 + \frac{1}{x^3} atd. Zobrazit
    4. Vyřešíme rovnici m-tého stupně s neznámou y \in \mathbb{M} a kořeny y_1, ..., y_m dosadíme zpět do základního substitučního vztahu y = x + \frac{1}{x}, čímž získáme řešení reciproké rovnice.
  • Řešení reciproké rovnice lichého stupně, kde n=2m+1, m \in \mathbb{N}.
    1. Jak víme z předchozí věty, číslo x_1 = -1 je kořenem rovnice. Proto vydělíme levou stranu rovnice dvojčlenem (x+1) (nebo použijeme Hornerovo schéma). Tímto snížíme stupeň mnohočlenu R_{2m+1} a dále řešíme reciprokou rovnici I. druhu sudého stupně, jak se lze přesvědčit pomocí Hornerova schématu.

Příklad
Řešte rovnici R_5(x) = 0 s neznámou x \in \mathbb{C}, kde R_5(x) = 6x^5 + 41x^4 + 97x^3 + 97x^2 + 41x + 6 .
Řešení
  • \mathbb{M} = \mathbb{C}, \mathbb{D} = \mathbb{C}
  • Je to reciproká rovnice I. druhu lichého stupně. Víme první kořen x_1=-1 a vydělíme tedy pravou stranu rovnice dvojčlenem (x+1), nebo použijeme Hornerovo schéma.
    a) Dělení:
    (6x^5 + 41x^4 + 97x^3 + 97x^2 + 41x + 6): (x+1) = 6x^4 + 35x^3 + 62x^2 + 35x + 6
    b) Hornerovo schéma:
       6     41     97      97      41      6   
       -1           -6      -35      -62      -35      -6   
            6      35      62      35      6      0   

    Získali jsme reciprokou rovnici I. druhu sudého stupně 6x^4 + 35x^3 + 62x^2 + 35x + 6 = 0.
  • Rovnici 6x^4 + 35x^3 + 62x^2 + 35x + 6 = 0 vydělíme výrazem x^2, jak nám radí 1. krok v postupu řešení reciproké rovnice I. druhu sudého stupně.
    6x^2 + 35x + 62 + 35\frac{1}{x} + 6\frac{1}{x^2} = 0
  • Upravíme podle 2. kroku v postupu řešení reciproké rovnice I. druhu sudého stupně.
    6(x^2 +\frac{1}{x^2}) + 35(x + \frac{1}{x}) + 62 = 0
  • Nyní použijeme substituci y = x + \frac{1}{x}, y^2 - 2 = x^2 + \frac{1}{x^2} a upravíme.
    6(y^2 - 2) + 35(y) + 62 = 0
    6y^2 - 12 + 35y + 62 = 0
    6y^2 + 35y + 50 = 0
  • Vyřešíme kvadratickou rovnici.
    y_1 = -\frac{5}{2}, y_2 = -\frac{10}{3}
    Dosadíme kořeny y_1, y_2 do substitučního vztahu y = x + \frac{1}{x} a upravíme.
      -\frac{5}{2} = x + \frac{1}{x} ..... x_2 = -\frac{1}{2}, x_3 = -2
    -\frac{10}{3} = x + \frac{1}{x} ..... x_4 = -\frac{1}{3}, x_5 = -3
  • \mathbb{K} = \left \{-1, -2, -\frac{1}{2}, -3, -\frac{1}{3} \right \}

Řešení reciproké rovnice II. druhu

  1. Jak víme z předchozí věty, číslo x_1 = 1 je kořenem rovnice, vydělíme levou stranu rovnice dvojčlenem (x-1) (nebo použijeme Hornerovo schéma). Dále řešíme reciprokou rovnici I. druhu.

Příklad
Řešte rovnici 5x^4 - 12x^3 + 12x - 5 = 0 s neznámou x \in \mathbb{C}.
Řešení
  • \mathbb{M} = \mathbb{C}, \mathbb{D} = \mathbb{C}
  • Je to reciproká rovnice II. druhu. Víme první kořen x_1=1 a vydělíme tedy pravou stranu rovnice dvojčlenem (x-1), nebo použijeme Hornerovo schéma.
       5     -12     0      12      -5   
       1           5      -7      -7      5   
            5      -7      -7      5      0   

    Získali jsme reciprokou rovnici I. druhu lichého stupně 5x^3 - 7x^2 - 7x + 5 = 0.
  • Víme druhý kořen x_2=-1 a vydělíme tedy pravou stranu rovnice dvojčlenem (x+1), nebo opět použijeme Hornerovo schéma.
       5     -7     -7      5   
       -1           -5      12      -5   
            5      -12      5      0   
  • Získali jsme kvadratickou rovnici 5x^2 - 12x + 5 = 0, kterou vyřešíme.
    x_3 = \frac{6+\sqrt{11}}{5}, x_4 = \frac{6-\sqrt{11}}{5}
  • \mathbb{K} = \left \{1, -1, \frac{6+\sqrt{11}}{5}, \frac{6-\sqrt{11}}{5} \right \}