Rovnice vyšších stupňů

• \mathbb{M} = \mathbb{C}, \mathbb{D} = \mathbb{C}
• Substituce: y=x^2, y \in \mathbb{C}
• Řešíme kvadratickou rovnici 5y^2 - 6y + 1 = 0 a získáme kořeny y_1 = \frac{1}{5}, y_2=1 .
• Kořeny y_1, y_2 dosadíme do vztahu vyjadřujícího substituci a řešíme binomické rovnice.
• x^2 = \frac{1}{5} ........... x_1 = \frac{\sqrt{5}}{5}, x_2 = -\frac{\sqrt{5}}{5}
  x^2 = 1 ........... x_3 = 1, x_4 = -1
• \mathbb{K} = \left \{ \pm \frac{\sqrt{5}}{5}, \pm 1 \right \}

• \mathbb{M} = \mathbb{C}, \mathbb{D} = \mathbb{C}
• Substituce: t=y^3, t \in \mathbb{C}
• Řešíme kvadratickou rovnici t^2 - 9t + 8 = 0 a získáme kořeny t_1 = 8, t_2=1 .
• Kořeny t_1, t_2 dosadíme do vztahu vyjadřujícího substituci a řešíme binomické rovnice.
• y^3 = 8                                                          y^3 = 1
  y^3 - 8 = (y-2)(y^2+2y+4)               y^3 - 1 = (y-1)(y^2+y+1)
     y_1 = 2                                                             y_4 = 1
     y_2 = -1 + i \sqrt{3}                                            y_5 = \frac{-1 + i \sqrt{3}}{2}
     y_3 = -1 - i \sqrt{3}                                            y_6 = \frac{-1 - i \sqrt{3}}{2}
• \mathbb{K} = \left \{ 1, 2, -1 \pm i \sqrt{3}, \frac{-1 \pm i \sqrt{3}}{2} \right \}

• \mathbb{M} = \mathbb{C}, \mathbb{D} = \mathbb{C}
• Substituce: t=z^4, t \in \mathbb{C}
• Řešíme kvadratickou rovnici t^2 + 3t - 10 = 0 a získáme kořeny t_1 = 2, t_2= -5 .
• Kořeny t_1, t_2 dosadíme do vztahu vyjadřujícího substituci a řešíme binomické rovnice.
• Řešíme první binomickou rovnici z^4 - 2 = 0 .
  Všechna řešení jsou tvaru z_k =\sqrt[4]{2} \Big[ cos   ( \frac {0 + 2k \pi}{4} ) + i   sin   ( \frac {0 + 2k \pi}{4}) \Big] , kde k = 0, 1, 2, 3.
  z_0= \sqrt[4]{2}, z_1= i \sqrt[4]{2}, z_2= - \sqrt[4]{2}, z_3= -i \sqrt[4]{2}
  Řešíme druhou binomickou rovnici z^4 + 5 = 0.
  Všechna řešení jsou tvaru z_k =\sqrt[4]{5} \Big[ cos   ( \frac {\pi + 2k \pi}{4} ) + i   sin   ( \frac {\pi + 2k \pi}{4}) \Big] , kde k = 0, 1, 2, 3.
  z_0= \frac {\sqrt[4]{5}}{2}(\sqrt{2} + i\sqrt{2}), z_1= \frac {\sqrt[4]{5}}{2}(-\sqrt{2} + i\sqrt{2})
  z_2= \frac {\sqrt[4]{5}}{2}(-\sqrt{2} - i\sqrt{2}), z_3= \frac {\sqrt[4]{5}}{2}(\sqrt{2} - i\sqrt{2})
• \mathbb{K} = \left \{ \pm \sqrt[4]{2}, \pm i \sqrt[4]{2}, \frac {\sqrt[4]{5}}{2}(\sqrt{2} \pm i\sqrt{2}), \frac {\sqrt[4]{5}}{2}(-\sqrt{2} \pm i\sqrt{2}) \right \}

\mathbb{M} = \mathbb{C}, \mathbb{D} = \mathbb{C}
Substituce: t=x^2......t^2 + 16t + 48 = 0 , kde t_1 = -4, t_2= -12
x^2 + 4 = 0 .....x_1= 2i, x_2=-2i
x^2 + 12 = 0 .....x_3= 2i \sqrt{3}, x_4=-2i \sqrt{3}
\mathbb{K} = \left \{ \pm 2i, \pm 2i \sqrt{3} \right \}

\mathbb{M} = \mathbb{C}, \mathbb{D} = \mathbb{C}
Substituce: t=y^3......t^2 + 25t + 150 = 0 , kde t_1 = -10, t_2= -15
y^3 + 10 = 0...y_{k_1} =\sqrt[3]{10} \Big[ cos   ( \frac {\pi+ 2k \pi}{3} ) + i   sin   ( \frac {\pi+ 2k \pi}{3}) \Big] , kde k = 0, 1, 2
y^3 + 15 = 0...y_{k_2} =\sqrt[3]{15} \Big[ cos   ( \frac {\pi+ 2k \pi}{3} ) + i   sin   ( \frac {\pi+ 2k \pi}{3}) \Big] , kde k = 0, 1, 2
\mathbb{K} = \left \{ -\sqrt[3]{10},\frac{\sqrt[3]{10}}{2}(1 \pm i \sqrt{3}), -\sqrt[3]{15}, \frac{\sqrt[3]{15}}{2}(1 \pm i \sqrt{3}) \right \}

\mathbb{M} = \mathbb{C}, \mathbb{D} = \mathbb{C}
Substituce: t=y^6......t^2 - 13t + 42 = 0 , kde t_1 = 7, t_2= 6
z^6 - 7 = 0...z_{k_1} =\sqrt[6]{7} \Big[ cos   ( \frac { 2k \pi}{6} ) + i   sin   ( \frac { 2k \pi}{6}) \Big] , kde k = 0, 1, 2, 3, 4, 5
z^6 - 6 = 0...z_{k_2} =\sqrt[6]{6} \Big[ cos   ( \frac { 2k \pi}{6} ) + i   sin   ( \frac { 2k \pi}{6}) \Big] , kde k = 0, 1, 2, 3, 4, 5
\mathbb{K} = \left \{ \pm \sqrt[6]{7},\frac{\sqrt[6]{7}}{2}(1 \pm i \sqrt{3}), \pm \sqrt[6]{6}, \frac{\sqrt[6]{6}}{2}(1 \pm i \sqrt{3}) \right \}