Trinomické rovnice

Definice

Nechť a, b, c jsou komplexní čísla, kde a, b \neq 0 a n \in \mathbb{N}, n \ge 2. Potom rovnici ve tvaru ax^{2n} + bx^n + c = 0 nazýváme trinomickou rovnicí s neznámou x \in \mathbb{C}.

Speciální tvary trinomické rovnice

Pokud bychom uvažovali n = 1, získáme tvar rovnice ax^{2} + bx + c = 0 a řešíme tedy kvadratickou rovnici.
Speciální název mají rovnice tvaru ax^{4} + bx^2 + c = 0, kde n = 2. Rovnice tohoto tvaru nazýváme bikvadratické rovnice.

Řešení trinomické rovnice

Trinomické rovnice ve tvaru ax^{2n} + bx^n + c = 0 řešíme pomocí substituce.

  1. Substitucí y = x^n převedeme rovnici na kvadratickou rovnici ay^2 + by + c = 0 s neznámou y.
  2. Vyřešíme kvadratickou rovnici s neznámou y. Kvadratickou rovnici řešíme ve stejné množině čísel, v jaké máme vyřešit trinomickou rovnici.
  3. Kořeny kvadratické rovnice y_1, y_2 dosadíme za y do vztahu vyjadřujícího substituci, tj. y = x^n.
  4. Získáme dvě binomické rovnice y_1 = x^n \land y_2 = x^n. Sjednocení množin všech řešení binomických rovnic je množinou všech řešení původní trinomické rovnice.

Příklad
Řešte rovnici 3x^4 + 26x^2 - 9 = 0 s neznámou x \in \mathbb{C}.
Řešení
  • \mathbb{M} = \mathbb{C}, \mathbb{D} = \mathbb{C}
  • Substituce je ve tvaru : y=x^2, y \in \mathbb{C}
  • Řešíme kvadratickou rovnici 3y^2 +26y - 9 = 0 a získáme kořeny y_1 = \frac{1}{3}, y_2=-9 .
  • Kořeny y_1, y_2 dosadíme do vztahu vyjadřujího substituci a řešíme binomické rovnice.
  • x^2 = \frac{1}{3}...........x_1 = \frac{\sqrt{3}}{3}, x_2 = -\frac{\sqrt{3}}{3}
    x^2 = -9.........x_3 = 3i, x_4 = -3i
  • Množinou všech řešení je \mathbb{K} = \left \{ \pm \frac{\sqrt{3}}{3}, \pm 3i \right \}.