Binomické vzorce

Pro počítání s mnohočleny jsou velice užitečné následující vzorce, a proto je dobré si je zapamatovat. Díky nim rychle získáme druhou a třetí mocninu dvojčlenu. Nemusíme tedy mnohočleny mezi sebou pracně roznásobovat.

Zobrazit

Věta

    Pro všechna a, b \in \mathbb{R} platí:

    {(a+b)}^2=a^2 + 2ab + b^2

    {(a-b)}^2=a^2 - 2ab + b^2

    {(a+b)}^3=a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3

    {(a-b)}^3=a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3

    Důkaz Zobrazit

Obecný binomický vzorec {(a+b)}^n, kde n>1, n \in \mathbb{N} udává binomická věta:

Věta

Pro všechna a, b \in \mathbb{R} a každé n \in \mathbb{N} a k \in \mathbb{N_0}platí:

{(a+b)}^n= {n \choose 0} a^n + {n \choose 1} a^{n-1}b + {n \choose 2} a^{n-2}b^2 + ... + {n \choose k} a^{n-k}b^k + ... + {n \choose {n-1}} ab^{n-1} + {n \choose n} b^n

Zkráceně zapisujeme: {(a+b)}^n = \sum_{k=0}^{n} {n \choose k} a^{n-k}b^k

Symbol \sum_{k=0}^{n} označuje součet členů {n \choose k} a^{n-k}b^k, kde za k dosazujeme postupně čísla od 0 do n.

Důkaz a podrobnější informace o binomické větě a kombinačních číslech lze nalézt na stánkách, které se věnují kombinatorice.

Poznámka

Připomeneme si, že {n \choose k}, kde n, k \in N_0, je kombinační číslo. Pro jistotu si uvedeme základní vlastnosti kombinačních čísel.

{n \choose k} = \frac{n !}{k ! ( n - k ) !}, k \le n
{n \choose {n - k}} = {n \choose k}, k \le n
{n \choose k} + {n \choose {k + 1}} = {{n + 1} \choose {k + 1}}, k < n

Úlohy

Upravte výrazy použitím binomických vzorců.

  1. x^2 - 8x + 16 ( V některých případech je potřeba mnohočlen "složit". )
    Řešení
  2. {(2x-3)}^3-{(3x+5)}^2
    Řešení
  3. {(2x + 3)}^4
    Řešení