Binomické rovnice

Definice

Nechť a, b jsou komplexní čísla, kde a \neq 0 a n \in \mathbb{N}. Potom rovnici ve tvaru ax^n - b = 0 nazýváme binomickou rovnicí s neznámou x \in \mathbb{C}.

Rovnici převedeme na normovaný tvar, tj. vydělíme ji nenulovým číslem a, a tím získáme rovnici x^n - c = 0, kde c = \frac{b}{a}, c \in \mathbb{C}.


Řešení binomické rovnice

Množinou všech řešení binomické rovnice jsou všechna komplexní čísla, která vyhovují rovnici x^n - c = 0.

Tyto kořeny můžeme vypočítat dvěma způsoby. Binomickou rovnici tedy řešíme v množině komplexních čísel buď algebraicky nebo goniometricky.

Algebraické řešení spočívá v tom, že mnohočlen na levé straně rovnice rozložíme na součin mnohočlenů nižších stupňů. Pokud tento rozklad umíme snadno určit, je výhodné využít algebraické řešení, jinak je výhodnější použít goniometrický způsob řešení.

Řešit binomickou rovnici x^n - c = 0 goniometricky znamená, že rovnici převedeme na tvar x^{n} = c a vypočítáme všechny hodnoty n-té odmocniny z komplexního čísla c v goniometrickém tvaru.

Věta

Binomická rovnice x^n - c = 0, kde c = |c|(cos   \alpha + i   sin   \alpha), má v množině komplexních čísel právě n různých kořenů, a to
x_k = \sqrt[n]{|c|} \Big[ cos   ( \frac {\alpha + 2k \pi}{n} ) + i   sin   ( \frac {\alpha + 2k \pi}{n}) \Big] , kde k = 0, 1, ..., (n-1) .

Příklad
Řešte rovnici x^3 + 27 = 0 s neznámou x \in \mathbb{C}.
Řešení
  • \mathbb{M} = \mathbb{C}, \mathbb{D} = \mathbb{C}
  • a) Algebraické řešení: Mnohočlen na levé straně rovnice rozložíme na součin pomocí vzorce a ^3 + b ^3.
    x^3 + 27 = x^3 + 3^3 = (x + 3)(x^2 - 3x + 9) = (x + 3)(x - \frac {3 - 3 i \sqrt{3} }{2} )(x - \frac {3 + 3 i \sqrt{3} }{2} )
    Z věty o rovnici v součinovém tvaru má rovnice tři řešení, a to -3, \frac {3 \pm 3 i \sqrt{3} }{2}.
  • b) Goniometrické řešení: Všechna řešení rovnice jsou třetí odmocniny z komplexního čísla -27, které převedeme na goniometrický tvar.
    |-27|=27, cos   \alpha = -1, sin   \alpha = 0   \Rightarrow   -27=27(cos \pi + i sin \pi)
    Všechna řešení jsou tvaru x_k =\sqrt[3]{27} \Big[ cos   ( \frac {\pi + 2k \pi}{3} ) + i   sin   ( \frac {\pi + 2k \pi}{3}) \Big] , kde k = 0, 1, 2.
    x_0 = 3 \Big[ cos   \frac {\pi}{3} + i   sin   \frac {\pi}{3} \Big] = 3(\frac {1}{2} + i \frac {\sqrt{3}}{2} )
    x_1 = 3 \Big[ cos   \frac {3 \pi}{3} + i   sin   \frac {3 \pi}{3} \Big] = -3
    x_2 = 3 \Big[ cos   \frac {5 \pi}{3} + i   sin   \frac {5 \pi}{3} \Big] = 3(\frac {1}{2} - i \frac {\sqrt{3}}{2}
  • Množinou řešení je \mathbb{K} = \left \{ -3, \frac{3 \pm i 3\sqrt{3} }{2} \right \}.