Rovnice vyšších stupňů

Rozklad mnohočlenu na součin v množině reálných čísel

Rozložit mnohočlen na součin znamená, vyjádřit ho jako součin několika jednodušších mnohočlenů, tj. součin mnohočlenů nižších stupňů, v optimálním případě součin lineárních mnohočlenů.

Je důležité poznamenat, že ne vždy lze mnohočlen v množině reálných čísel takto rozložit na součin. Proto je na konci této stránky uveden postup rozkladu mnohočlenu na součin v množině komplexních čísel, kde lze mnohočlen rozložit na součin vždy.

Při rozkladu mnohočlenu na součin využíváme:

1. Vytýkání před závorku

Postup je založen na vytknutí společných členů mnohočlenu, jak je ukázáno v úloze.

Úloha

Rozložte mnohočlen 5cm + 3dn - 15dm - cn na součin.
Řešení
- 1. možnost řešení: Pro přehlednost uspořádáme mnohočlen tak, aby byly pohromadě členy se stejnou proměnnou:
  5cm + 3dn - 15dm - cn = 5cm - 15dm + 3dn - cn =
- Nyní stejnou proměnnou vytkneme:
  = 5m(c - 3d) + n(3d - c) =
- Členy v závorkách se až na znaménko rovnají, proto můžeme vytknout:
  = 5m(c - 3d) - n(c - 3d) = (c - 3d)(5m - n)
- 2. možnost řešení: Mnohočlen jsme si mohli uspořádat i následovně:
  5cm + 3dn - 15dm - cn = 5cm - cn - 15dm + 3dn =
- Dále postupujeme analogicky:
  = c(5m - n) + 3d(-5m + n) =
  =c(5m - n) - 3d(5m - n) = (5m - n)(c - 3d)
- Důležité je, že ať postupujeme prvním či druhým způsobem řešení, vždy musíme dojít ke stejnému výsledku!

2. Rozklad pomocí vzorců

Využíváme binomické vzorce, které jsme již zavedli, a dále následující vzorce tvaru a^n \pm b^n, kde n \in \mathbb{N}.

Věta

Pro všechna a, b \in \mathbb{R} platí:

a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)

a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)

a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)

Důkaz

Poznámka

Mnohočleny a^2 + b^2, (a^2 - ab + b^2), (a^2 + ab + b^2) jsou v množině reálných čísel dále nerozložitelné.

Úloha

Rozložte mnohočlen a^5 - a^3 + a^2 - 1 na součin.
Řešení
- Nejprve použijeme vytýkání před závorku:
  a^5 - a^3 + a^2 - 1 = a^3(a^2 - 1) + (a^2 - 1) =
- Vytkneme shodné členy v závorce:
  = (a^2 - 1)(a^3 + 1) =
- Rozložíme podle vzorců výše:
  = [(a - 1)(a + 1)][(a + 1)(a^2 - ab + b^2)] = (a - 1){(a + 1)}^2(a^2 - ab + b^2)

3. Rozklad kvadratického trojčlenu

K rozkladu kvadratického trojčlenu na součin lze dojít třemi základními způsoby:

1. způsob: Vietovy vzorce

V následující větě předpokládáme, že daný kvadratický trojčlen lze rozložit na součin. Už ale víme, že ne vždy umíme mnohočlen rozložit na součin.

Je dán mnohočlen x^2 + px + q, kde p, q \in \mathbb{R}. Pokud existují taková čísla r, s \in \mathbb{R}, že daný mnohočlen lze rozložit na součin ve tvaru (x - r)(x - s), tak platí:
-p = r + s
q = r * s

Důkaz

Poznámka

Vietovy vzorce většinou používáme v případě, že p, q a r, s jsou celá čísla. Pokud jsou p, q celá čísla, snadno zpaměti určíme čísla r, s. Ale ne každý mnohočlen lze takto rozložit, protože čísla r, s nemusí vždy existovat.

Úloha

Rozložte kvadratický trojčlen x^2 - 2x - 35 na součin.
Řešení
- x ^2 + px + q = x^2 - 2x - 35
  p = -2 2 = r + s
  q = -35 -35 = r * s
- Je zřejmé, že 35 = 7 * 5.
  Protože je číslo 35 záporné, máme dvě možnosti: (-7) * 5, nebo 7 * (-5)
  Aby platila též rovnost 2 = r + s, musí být r = -5 a s = 7.
- Mnohočlen jsme rozložili na součin dvou lineárních dvojčlenů:
  x^2 - 2x - 35 = (x + 5)(x - 7)

2. způsob: Vzorec pro řešení kvadratické rovnice

Pokud r, s neumíme určit zpaměti, ať už z důvodu, že to nejsou celá čísla, nebo že koeficienty p, q jsou příliš velká čísla, lze použít vzorec pro řešení kvadratické rovnice, kde r = x_1 a s = x_2

3. způsob: Doplnění kvadratického trojčlenu na druhou mocninu lineárního dvojčlenu

Kvadratický trojčlen lze upravit též doplněním na druhou mocninu lineárního dvojčlenu,
tj. "doplněním na úplný čtverec".

Obecný postup je následující:

Máme kvadratický trojčlen ax^2 + bx + c, kde a, b, c \neq 0.
Z mnohočlenu vytkneme koeficient a, aby byl trojčlen v normovaném tvaru:
ax^2 + bx + c = a (x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a}) =
Abychom část mnohočlenu mohli upravit podle vzorce a^2 + 2ab + b^2 = {(a+b)} ^2, vložíme do mnohočlenu polovinu koeficientu lineárního členu umocněnou na druhou:
= a[ (x^2 + \frac{b}{a}x + {(\frac{b}{2a})}^2) - {(\frac{b}{2a})}^2 + \frac{c}{a} ] =
Nyní mnohočlen upravíme:
= a[ {(x + \frac{b}{2a})}^2 - \frac{b^2}{4a^2} + \frac{c}{a} ] = a[ {(x + \frac{b}{2a})}^2 - (\frac{b^2 - 4ac}{4a^2}) ]

Pokud je výraz b^2 - 4ac nezáporný , lze výraz a[ {(x + \frac{b}{2a})}^2 - (\frac{b^2 - 4ac}{4a^2}) ] upravit na tvar a[ {(x + \frac{b}{2a})}^2 - {(\frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a})}^2 ] a rozložit na součin podle vzorce (A^2-B^2) . V případě, že je výraz b^2 - 4ac záporný, nelze mnohočlen a[ {(x + \frac{b}{2a})}^2 - (\frac{b^2 - 4ac}{4a^2}) ] rozložit na součin v množině reálných čísel. V tomto případě lze mnohočlen rozložit pouze v množině komplexních čísel.

Úlohy

Doplňte kvadratický trojčlen na "úplný čtverec" a pokud to jde, rozložte ho na součin.

x^2 - x - 2
Řešení
- Mnohočlen je již v normovaném tvaru, tj. koeficient u členu x^2 se rovná jedné.
- Stačí tedy vložit polovinu koeficientu lineárního členu umocněnou na druhou :
  (x^2 - x + {(-\frac{1}{2})}^2) - {(-\frac{1}{2})}^2 - 2 = {(x - \frac{1}{2})}^2 - \frac{1 + 8}{4} = {(x - \frac{1}{2})}^2 - {(\frac{3}{2})}^2 =
- = (x - \frac{1}{2} - \frac{3}{2})(x - \frac{1}{2} + \frac{3}{2}) = (x - 2)(x + 1)
2x^2 - 3x + 8
Řešení
- Mnohočlen není v normovaném tvaru, vytkneme dvojku:
  2(x^2 - \frac{3}{2}x + 4) =
- Vložíme polovinu koeficientu lineárního členu umocněnou na druhou:
  = 2[(x^2 - \frac{3}{2}x + {(-\frac{3}{4})}^2) - {(-\frac{3}{4})}^2 + 4] = 2[{(x - \frac{3}{4})}^2 + (\frac{-9 + 64}{16})]
  = 2[{(x - \frac{3}{4})}^2 + \frac{55}{16}] =
- Upravíme na tvar a[ {(x + \frac{b}{2a})}^2 - {(\frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a})}^2 ] :
  = 2[{(x - \frac{3}{4})}^2 - {(\frac{\sqrt{-55}}{4})}^2]
- Výraz pod odmocninou je záporný, tudíž mnohočlen nelze rozložit na součin v \mathbb{R}.
  Kdybychom chtěli rozložit na součin již mnohočlen 2[{(x - \frac{3}{4})}^2 + \frac{55}{16}], vyjádřili bychom ho ve tvaru 2[{(x - \frac{3}{4})}^2 + {(\frac{\sqrt{55}}{4})}^2]. Mnohočlen je tvaru a[(A^2+B^2)], kde dvojčlen (A^2+B^2) je v množině reálných čísel nerozložitelný.

Rozklad mnohočlenu v množině komplexních čísel

V množině reálných čísel nelze některé mnohočleny rozložit na součin, a proto si ukážeme jejich rozklad v množině komplexních čísel. Díky imaginární jednotce i \in \mathbb{C} budeme moci rozklad uskutečnit.

Poznámka

To nejdůležitější, co z komplexních čísel budeme pro rozklad na součin potřebovat, je vlatnost imaginární jednotky i \in \mathbb{C}, a to i^2 = -1 .

V množině komplexních čísel platí též binomické vzorce a vzorce tvaru a^n \pm b^n, kde n \in \mathbb{N}.

Navíc můžeme rozložit i mnohočleny a^2 + b^2, (a^2 - ab + b^2), (a^2 + ab + b^2).

Úlohy

Rozložte mnohočleny v \mathbb{C}, kde a, b \in \mathbb{R} a i je imaginární jednotka.

a^2 + b^2
Řešení
- Dvojčlen a^2 + b^2 lze zapsat ve tvaru a^2 - {(bi)}^2.
  Potom je už rozklad jednoduchý.
- a^2 - {(bi)}^2 = (a - bi)(a + bi)
(a^2 - ab + b^2)
Řešení
- Použijeme metodu "doplnění na úplný čtverec":
  (a^2 - ab + b^2) = (a^2 - ab + {(-\frac{b}{2})}^2 ) - {(-\frac{b}{2})}^2 + b^2 = {(a - \frac{b}{2})}^2 + (\frac{-b^2 + 4b^2}{4}) =
- ={(a - \frac{b}{2})}^2 + (\frac{3b^2}{4})= {(a - \frac{b}{2})}^2 - (\frac{3}{4}{(ib)}^2) = (a - \frac{b}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}ib)(a - \frac{b}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}ib) =
- = \big(a - (\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i ) b \big) \big(a - (\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i ) b \big)
(a^2 + ab + b^2)
Řešení
- Postup bude analogický jako v předchozím příkladě.
- Použijeme metodu "doplnění na úplný čtverec":
  (a^2 + ab + b^2) = (a^2 + ab + {(\frac{b}{2})}^2 ) - {(\frac{b}{2})}^2 + b^2 = {(a + \frac{b}{2})}^2 + (\frac{-b^2 + 4b^2}{4}) =
- {(a + \frac{b}{2})}^2 + (\frac{3b^2}{4})= {(a + \frac{b}{2})}^2 - (\frac{3}{4}{(ib)}^2) = (a + \frac{b}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}ib)(a + \frac{b}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}ib) =
- = \big(a + (\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i ) b \big) \big(a + (\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i ) b \big)

Věta

Pro všechna a, b \in \mathbb{C} a imaginární jednotku i platí:

a^2 + b^2 = (a - bi)(a + bi)

a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2) = (a + b)(a - \frac{b}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}ib)(a - \frac{b}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}ib)

a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2) = (a - b)(a + \frac{b}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}ib)(a + \frac{b}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}ib)

Rovnice vyšších stupňů

Rozklad mnohočlenu na součin v množině reálných čísel

1. Vytýkání před závorku

2. Rozklad pomocí vzorců

3. Rozklad kvadratického trojčlenu

Rozklad mnohočlenu v množině komplexních čísel

Titulní strana

Úvod

Mnohočleny-opakování

Algebraické rovnice-opakování

Alg.rovnice n-tého stupně

Kubické rovnice

Binomické rovnice

Trinomické rovnice

Reciproké rovnice

Značení a symboly

Rejstřík

Literatura

Užitečné odkazy