Definice
Definice paraboly
Definice: Nechť je v rovině E_2 dána přímka d a bod F, který na ní neleží.
Parabolou k_p budeme rozumět množinu všech bodů v rovině E_2, jejichž vzdálenost od bodu F je rovna vzdálenosti od přímky d.
Pomocí množinových symbolů můžeme definici napsat následujícím způsobem:
k_p =\{ X \in E_2; \, |XF| = |Xd|, \; kde \;F \not \in d\}.
Pokud budete v apletu P1.1 pohybovat bodem X po parabole, můžete se přesvědčit, že vzdálenost bodu X od pevně daného bodu F je stejná jako vzdálenost bodu X od přímky d.
Pozn.: Vzdálenost bodu od přímky je délka kolmice spuštěné z daného bodu na přímku.
Aplet P1.1: Definice paraboly - shodné délky průvodičů
Základní pojmy
Nyní vymezíme několik důležitých pojmů vztahujících se k parabole. V dalším textu budou termíny používány.
Bod F se nazývá ohnisko paraboly (někdy také fokus) a přímka d se nazývá řídicí přímka (direktrix).
Pozn.: Důležité je si všimnout, že ohnisko a řídicí přímka nejsou incidentní, tedy, že bod F na přímce d neleží. Kdyby tomu tak bylo, potom by "parabolu" představovala přímka kolmá na přímku d a procházející bodem F.
Vzdálenosti |FX|, |DX| nebo také spojnice FX a DX libovolného bodu X \in k_p , kde bod D je průsečíkem řídicí přímky a kolmice na ni procházející daným bodem X se nazývají průvodiče bodu X.
Přímku kolmou na řídicí přímku d a procházející ohniskem F budeme značit o a nazveme ji osa paraboly. Osa protíná parabolu právě v jednom bodě. Tento bod se nazývá vrchol paraboly a značí se V.
Vzdálenost ohniska od řídicí přímky se nazývá parametr, značí se p. Tedy p=|Fd|. Je to důležitá konstanta, pomocí níž se parabola zadává. Dalo by se říci, že určuje tvar paraboly (více o tvaru paraboly říká kapitola Základní vlastnosti paraboly).
Vrátíme-li se k vrcholu V, platí podle definice následující: |FV| = |Vd|. Z toho plyne, že vzdálenost vrcholu od ohniska (resp. od řídicí přímky) je rovna polovině parametru, tedy |FV|= \frac {p} {2} . Přímka kolmá na osu a procházející vrcholem paraboly, jež se značí v, se nazývá vrcholová tečna. Opravdu, přímka v je tečnou paraboly v jejím vrcholu V (o tomto tématu více v kapitole Tečny a normály paraboly).
Parabola a všechny jmenované body, přímky a konstanty jsou na obrázku P1.1.
Obrázek P1.1: Parabola
Pro větší přehlednost a ucelenost termínů je zde tabulka, která shrnuje všechny pojmy:
| označení | název | definice |
|---|---|---|
| k_p | parabola | |
| F | ohnisko (fokus) | |
| d | řídicí přímka | |
| o | osa paraboly | přímka procházející F a kolmá na d |
| V | vrchol paraboly | průsečík o a k_p |
| v | vrcholová tečna | přímka procházející V a kolmá na o |
| p | parametr | |Fd| |