Definice


Společná definice


V předchozích kapitolách jsme definovali jednotlivé kuželosečky: elipsu, hyperbolu a parabolu, každou zvlášť. Nyní předkládáme jednu společnou definici, pomocí níž dostaneme každou ze tří kuželoseček. Definice je založena na poměru vzdáleností, viz níže.

Definice: Nechť je v rovině E_2 dána přímka d a bod F, který na ní neleží. Dále nechť je zvolena konstanta \epsilon>0.
Kuželosečkou k budeme rozumět množinu všech bodů X v rovině E_2, které mají konstantní poměr vzdáleností |FX| : |Xd| roven \epsilon.

Pomocí množinových symbolů můžeme definici napsat následujícím způsobem:

k= \{ X \in E_2; \, \frac {|FX|} {|Xd|} =\epsilon , \, kde \; \epsilon>0\}.

Takto obecně je definována regulární kuželosečka. Nikdy však touto definicí nedostaneme kružnici. Přímka d se nazývá (stejně jako u paraboly) řídicí přímka a zvolený bod F se nazývá ohnisko. Jestli se jedná o elipsu, hyperbolu či parabolu určuje právě konstanta \epsilon, která se nazývá číselná excentricita (číselná výstřednost).
Pro \epsilon \in (0;1) je definice určena elipse.
Pro \epsilon =1 se jedná o parabolu.
Pro \epsilon \in (1;+ \infty) náleží definice hyperbole.

V apletu S1.1 je definice vymodelována. Křivka je zde počítána právě podle definice. Pokud tedy budete měnit \epsilon - poměr vzdáleností (pomocí posuvníku), bude se výsledná křivka náležitě měnit.

Aplet S1.1: Definice společná elipse, hyperbole a parabole

This is a Java Applet created using GeoGebra from www.geogebra.org - it looks like you don't have Java installed, please go to www.java.com

Na obrázku S1.1 jsou všechny tři kuželosečky zobrazeny najednou. Všechny mají společnou řídicí přímku d a ohnisko F. Ovšem každá má jiný poměr \frac {|FX|} {|Xd|} =\epsilon vzdáleností bodů X \in k.

Obrázek S1.1: Společná definice kuželoseček

definiceS.png, 210kB

Názvy kuželoseček pocházejí od starých řeckých matematiků, ti se jejich studiem intenzivně zabývali. Jedním z velmi významných děl je Kónika - Pojednání o kuželosečkách od Apollónia z Pergy (3. - 2. stol. př. Kr.). Ten zde definuje kuželosečky jako rovinné řezy kruhového kužele a vyvozuje vztahy mezi souřadnicemi každého bodu kuželosečky. Pokud bychom chtěli tlumočit jeho poznatky, můžeme říci následující:
Pro parabolu platí, že poměr vzdáleností - číselná excentricita \epsilon = \frac {|FX|} {|Xd|} je rovna jedné. Z toho vyplynul název parabola, z řeckého parabolé = přirovnání.
Pro elipsu je \epsilon menší než jedna. Název elipsa je z řeckého elleipsis = nedostatek.
U hyperboly je naopak \epsilon větší než jedna. Název hyperbola je z řeckého názvu hyperbolé, což znamená přebytek.