Úloha 4
| zobraz celé řešení | |
| << předchozí snímek | následující snímek>> |
 |
Zadání: Sestrojte řez kosého válce rovinou XYZ, kde X, Y jsou body umístěné na plášti válce a bod Y leží v rovině dolní podstavy, jak je naznačeno na obrázku. Při řešení úlohy využijeme osové afinity mezi rovinou řezu a rovinou dolní podstavy a za směr afinity s vezmeme směr osy válce.
Nejprve musíme najít osu afinity, která je průsečnicí roviny dolní podstavy a roviny řezu dané body XYZ.
K sestrojení osy afinity budeme potřebovat dva body. Bod Y náleží oběma rovinám, je samodružný a leží tedy i na hledané ose afinity. Druhý bod získáme pomocí bodů X, Z. Obrazem přímky XZ v zadané osové afinitě je přímka X'Z', protože obrazem bodu X je bod X' a bodu Z je bod Z'. Průsečíkem přímky XZ a přímky X'Z' je samodružný bod P, který bude ležet na ose afinity.
Pomocí bodů Y, P již můžeme sestrojit osu afinity o.
K sestrojení elipsy, která je průsečnicí pláště daného tělesa a roviny řezu, nám stačí pět bodů. Body X, Z, které určují rovinu řezu, jsou body průsečnice, protože leží na povrchu válce.
Další bod získáme pomocí bodů X, X' a U', kde bod X' je obraz bodu X a bod U' zvolíme libovolně na hranici dolní podstavy tělesa. Bodem U' vedeme rovnoběžku se směrem afinity. Bod Q je průsečík přímky X'U' s osou o. Vzorem přímky X'U' je přímka XQ a tedy průsečík přímky XQ s rovnoběžkou se směrem s v bodě U' je bod elipsy U.
Další bod získáme pomocí bodů Z, Z' a V', kde bod Z' je obraz bodu Z a bod V' zvolíme libovolně na hranici dolní podstavy tělesa.
Bodem V' vedeme rovnoběžku se směrem afinity. Bod R je průsečík přímky Z'V' s osou o. Vzorem přímky Z'V' je přímka ZR a tedy průsečík přímky ZR s rovnoběžkou se směrem s v bodě V' je bod elipsy V.
Pátý bod získáme pomocí bodů Z, Z' a W', kde bod Z' je obraz bodu Z a bod W' zvolíme libovolně na hranici dolní podstavy tělesa.
Bodem W' vedeme rovnoběžku se směrem afinity. Bod S je průsečík přímky Z'W' s osou o. Vzorem přímky Z'W' je přímka ZS a tedy průsečík přímky ZS s rovnoběžkou se směrem s v bodě W' je bod elipsy W.
Nyní známe všechny potřebné body k sestrojení elipsy, která je průsečnicí pláště daného tělesa a rovinou řezu.
|
zobraz řešení interaktivně
 |
Nejprve musíme najít osu afinity, která je průsečnicí roviny dolní podstavy a roviny řezu dané body XYZ. K sestrojení osy afinity budeme potřebovat dva body. Bod Y náleží oběma rovinám, je samodružný a leží tedy i na hledané ose afinity. Druhý bod získáme pomocí bodů X, Z. Obrazem přímky XZ v zadané osové afinitě je přímka X'Z', protože obrazem bodu X je bod X' a bodu Z je bod Z'. Průsečíkem přímky XZ a přímky X'Z' je samodružný bod P, který bude ležet na ose afinity. |
 |
Pomocí bodů Y, P již můžeme sestrojit osu afinity o. |
 |
K sestrojení elipsy, která je průsečnicí pláště daného tělesa a roviny řezu, nám stačí pět bodů. Body X, Z, které určují rovinu řezu, jsou body průsečnice, protože leží na povrchu válce. Další bod získáme pomocí bodů X, X' a U', kde bod X' je obraz bodu X a bod U' zvolíme libovolně na hranici dolní podstavy tělesa. Bodem U' vedeme rovnoběžku se směrem afinity. Bod Q je průsečík přímky X'U' s osou o. Vzorem přímky X'U' je přímka XQ a tedy průsečík přímky XQ s rovnoběžkou se směrem s v bodě U' je bod elipsy U. |
 |
Další bod získáme pomocí bodů Z, Z' a V', kde bod Z' je obraz bodu Z a bod V' zvolíme libovolně na hranici dolní podstavy tělesa. Bodem V' vedeme rovnoběžku se směrem afinity. Bod R je průsečík přímky Z'V' s osou o. Vzorem přímky Z'V' je přímka ZR a tedy průsečík přímky ZR s rovnoběžkou se směrem s v bodě V' je bod elipsy V. |
 |
Pátý bod získáme pomocí bodů Z, Z' a W', kde bod Z' je obraz bodu Z a bod W' zvolíme libovolně na hranici dolní podstavy tělesa. Bodem W' vedeme rovnoběžku se směrem afinity. Bod S je průsečík přímky Z'W' s osou o. Vzorem přímky Z'W' je přímka ZS a tedy průsečík přímky ZS s rovnoběžkou se směrem s v bodě W' je bod elipsy W. |
 |
Nyní známe všechny potřebné body k sestrojení elipsy, která je průsečnicí pláště daného tělesa a roviny řezu. |