Diplomová práce - Stereometrie

Řezy válců

Řezem válce rovinou je rovinný útvar omezený elipsou nebo částí elipsy, jejíž střed leží na ose válce, pokud je tato rovina různoběžná a není kolmá s osou válce.
Vzhledem k tomu, že průnikem válcové plochy a roviny je v tomto případě elipsa, potřebujeme více bodů tohoto průniku, abychom ji načrtli.

Poznámka: Ke konstrukci elipsy stačí znát pět jejich bodů. Tohoto využijeme při sestrojení řezu válce. V softwaru Cabri II Plus je tento příkaz k dispozici.

Úlohy se řeší obdobně jako v případě hranolů.
Při jejich řešení využijeme osové afinity mezi dvěma rovinami, rovinou řezu a rovinou dolní podstavy, za směr afinity s vezmeme směr osy válce.

Příklad 1
Sestrojte řez rotačního válce rovinou XYZ, kde X, Y, Z jsou body umístěné na plášti válce, jak je naznačeno na obrázku níže.

Řešení
Postup si ukážeme po krocích.

Při řešení úlohy využijeme osové afinity mezi rovinou řezu a rovinou dolní podstavy a za směr afinity s vezmeme směr osy válce.

Nejprve musíme najít osu afinity, která je průsečnicí roviny dolní podstavy a roviny řezu dané body XYZ.

K sestrojení osy afinity budeme potřebovat dva body a jejich obrazy. Jeden bod získáme pomocí bodů X, Y.
Obrazem přímky XY v osové afinitě je přímka X'Y', protože obrazem bodu X je bod X' a bodu Y je bod Y'. Průsečíkem přímky XY a přímky X'Y' je samodružný bod P, který bude ležet na ose afinity.

Druhý bod osy získáme pomocí bodů Y, Z.
Obrazem přímky YZ je přímka Y'Z', protože obrazem bodu Y je bod Y' a bodu Z je bod Z'. Průsečíkem přímky YZ a přímky Y'Z' je samodružný bod Q, který bude ležet na ose afinity.

Pomocí bodů P, Q již můžeme sestrojit osu afinity o.

Při sestrojení obrazu válce ve volném rovnoběžném promítání jsme se v Úloze 2b v kapitole o podstavách naučili sestrojit obraz kruhu pomocí opsaného čtverce, jehož obrazem je rovnoběžník K'L'M'N' a obrazem kružnice je elipsa. K sestrojení elipsy, která je průsečnicí pláště daného tělesa, resp. válcové plochy a roviny řezu, nám stačí pět bodů, pokud používáme program, který jí umí vykreslit. My si zde naznačíme, jak ji načtrtnout na papíře. K tomu využijeme rovnoběžník K'L'M'N' opsaný podstavě tělesa a nalezneme jeho vzor, který bude opsaný hledané elipse, jejíž část je řezem tělesa.
Body U', V' jsou vrcholy elipsy v podstavě a v nich se mění její viditelnost.

Body X, Y, Z, které určují rovinu řezu, jsou body průsečnice, protože leží na povrchu válce.

Další bod získáme pomocí bodů X, X' a U', kde bod X' je obraz bodu Xv dané afinitě.
Bodem U' vedeme rovnoběžku se směrem afinity. Bod T je průsečík přímky X'U' s osou o. Vzorem přímky X'U' je přímka XT a tedy průsečík přímky XT s rovnoběžkou se směrem s v bodě U' je bod elipsy U.

Další bod získáme pomocí bodů Z, Z' a V', kde bod Z' je obraz bodu Z.
Bodem V' vedeme rovnoběžku se směrem afinity. Bod W je průsečík přímky Z'V' s osou o. Vzorem přímky Z'V' je přímka ZW a tedy průsečík přímky ZW s rovnoběžkou se směrem s v bodě V' je bod elipsy V.

Nyní nalezneme vzor rovnoběžníku, který je opsán podstavě tělesa. Využijeme k tomu body dotyku A', B', C', D' podstavy a rovnoběžníku a jejich vzory.
Bod A získáme pomocí bodů X, X' a A', kde bod X' je obraz bodu X.
Bodem A' vedeme rovnoběžku se směrem afinity. Bod R je průsečík přímky X'A' s osou o. Vzorem přímky X'A' je přímka XR a tedy průsečík přímky XR s rovnoběžkou se směrem s v bodě A' je bod elipsy A.

Bod B získáme pomocí bodů X, X' a B', kde bod X' je obraz bodu X.
Bodem B' vedeme rovnoběžku se směrem afinity. Bod S je průsečík přímky X'B' s osou o. Vzorem přímky X'B' je přímka XS a tedy průsečík přímky XS s rovnoběžkou se směrem s v bodě B' je bod elipsy B.

Obdobně jako body A, B nalezneme bod C (pomocí bodů X, X' a C') a bod D (pomocí bodů X, X' a D').

Dále sestrojíme vzor strany K'L' rovnoběžníku opsaného podstavě tělesa. Bod E je průsečík přímky K'L' s osou o. Vzorem přímky K'L' je přímka AE. Vzor strany K'L' leží na přímce AE.

Dále sestrojíme vzor strany L'M' rovnoběžníku opsaného podstavě tělesa. Bod F je průsečík přímky L'M' s osou o. Vzorem přímky L'M' je přímka BF. Vzor strany L'M' leží na přímce BF.

Obdobně sestrojíme vzory ostatních stran rovnoběžníku opsaného podstavě tělesa.

Již můžeme vyznačit rovnoběžník, který je opsaný hledané elipse, která je průsečnicí pláště daného tělesa a roviny řezu, a který je vzorem rovnoběžníku opsaného podstavě.

Nyní známe všechny potřebné body k sestrojení elipsy, která je průsečnicí pláště daného tělesa a roviny řezu a také body dotyku hledané elipsy a jí opsaného rovnoběžníku.

Příklad 2
Sestrojte řez kosého válce rovinou XYZ, kde X, Y, Z jsou body umístěné na plášti válce, jak je naznačeno na obrázku níže.

Při řešení úlohy využijeme osové afinity mezi rovinou řezu a rovinou dolní podstavy a za směr afinity s vezmeme směr osy válce.

Řešení
Postup si ukážeme po krocích.

Nejprve musíme najít osu afinity, která je průsečnicí roviny dolní podstavy a roviny řezu dané body XYZ.

K sestrojení osy afinity budeme potřebovat dva body. Bod X náleží oběma rovinám, je samodružný a leží tedy i na hledané ose afinity.
Druhý bod získáme pomocí bodů Y, Z.
Obrazem přímky YZ v zadané osové afinitě je přímka Y'Z', protože obrazem bodu Y je bod Y' a bodu Z je bod Z'. Průsečíkem přímky YZ a přímky Y'Z' je samodružný bod P, který bude ležet na ose afinity.

Pomocí bodů X, P již můžeme sestrojit osu afinity o.

K sestrojení elipsy, která je průsečnicí pláště daného tělesa a roviny řezu, nám stačí pět bodů, pokud používáme program, který jí umí vykreslit. My si zde naznačíme, jak ji načtrtnout na papíře. K tomu využijeme rovnoběžník opsaný podstavě tělesa a nalezneme jeho vzor, který bude opsaný hledané elipse, jež je částí řezu.
Bod U', Y' jsou vrcholy elipsy v podstavě a v nich se mění viditelnost.

Body X, Y, Z, které určují rovinu řezu, jsou body průsečnice, protože leží na povrchu válce.

Osa afinity leží v rovině dolní podstavy tělesa a protíná hranici podstavy, proto průsečíky X, V osy afinity s hranicí dolní podstavy jsou body řezu.

Další bod získáme pomocí bodů Y, Y' a U', kde bod Y' je obraz bodu Y.
Bodem U' vedeme rovnoběžku se směrem afinity. Bod T je průsečík přímky Y'U' s osou o. Vzorem přímky Y'U' je přímka YT a tedy průsečík přímky YT s rovnoběžkou se směrem s v bodě U' je bod elipsy U.

Nyní nalezneme obraz rovnoběžníku opsaného podstavě tělesa. Využijeme k tomu body dotyku A', B', C', D' podstavy a rovnoběžníku a jejich obrazy.
Bod A získáme pomocí bodů Z, Z' a A', kde bod Z' je obraz bodu Z.
Bodem A' vedeme rovnoběžku se směrem afinity. Bod R je průsečík přímky Z'A' s osou o. Vzorem přímky Z'A' je přímka ZR a tedy průsečík přímky ZR s rovnoběžkou se směrem s v bodě A' je bod elipsy A.

Bod B získáme pomocí bodů Z, Z' a B', kde bod Z' je obraz bodu Z.
Bodem B' vedeme rovnoběžku se směrem afinity. Bod S je průsečík přímky Z'B' s osou o. Vzorem přímky Z'B' je přímka ZS a tedy průsečík přímky ZS s rovnoběžkou se směrem s v bodě B' je bod elipsy B.

Obdobně jako body A, B nalezneme bod C (pomocí bodů Z, Z' a C') a bod D (pomocí bodů Z, Z' a D').

Dále sestrojíme vzor strany K'L' rovnoběžníku opsaného podstavě tělesa. Bod E je průsečík přímky K'L' s osou o. Vzorem přímky K'L' je přímka AE. Vzor strany K'L' leží na přímce AE.

Dále sestrojíme vzor strany L'M' rovnoběžníku opsaného podstavě tělesa. Bod F je průsečík přímky L'M' s osou o. Vzorem přímky L'M' je přímka BF. Vzor strany L'M' leží na přímce BF.

Obdobně sestrojíme vzory ostatních stran rovnoběžníku opsaného podstavě tělesa.

Již můžeme vyznačit rovnoběžník, který je opsaný hledané elipse, která je průsečnicí pláště daného tělesa a roviny řezu, a který je vzorem rovnoběžníku opsaného podstavě.

Nyní známe všechny potřebné body k sestrojení části elipsy, která je průsečnicí pláště daného tělesa a roviny řezu a také body dotyku hledané elipsy a jí opsaného rovnoběžníku.

Úlohy

1. Sestrojte řez rotačního válce rovinou XYZ, kde X, Y, Z jsou body umístěné na plášti válce, jak je naznačeno na obrázku níže.

Řešení

2. Sestrojte řez kosého válce rovinou XYZ, kde X, Y, Z jsou body umístěné na plášti válce, jak je naznačeno na obrázku níže.

Řešení

3. Sestrojte řez rotačního válce rovinou XYZ, kde X, Y jsou body umístěné na plášti válce a bod Z leží v rovině horní podstavy, jak je naznačeno na obrázku níže.

Řešení

4. Sestrojte řez kosého válce rovinou XYZ, kde X, Y jsou body umístěné na plášti válce a bod Y leží v rovině dolní podstavy, jak je naznačeno na obrázku níže.

Řešení

5. Sestrojte řez rotačního válce rovinou XYZ, kde X, Y, Z jsou body umístěné na plášti válce, jak je naznačeno na obrázku níže.

Řešení

6. Sestrojte řez kosého válce rovinou XYZ, kde X, Y, Z jsou body umístěné na plášti válce, jak je naznačeno na obrázku níže.

Řešení

7. Sestrojte řez kolmého půlválce rovinou XYZ, kde X, Y, Z jsou body umístěné na plášti půlválce, jak je naznačeno na obrázku níže. (Půlválec je část válce, která vznikne rozdělením válce rovinou kolmou na podstavu, a která obsahuje osu válce.)

Řešení

8. Sestrojte řez kolmého půlválce rovinou XYZ, kde X, Y, Z jsou body umístěné na plášti půlválce, jak je naznačeno na obrázku níže. (Půlválec je část válce, která vznikne rozdělením válce rovinou kolmou na podstavu, a která obsahuje osu válce.)

Řešení

Nejprve musíme najít osu afinity, která je průsečnicí roviny dolní podstavy a roviny řezu dané body XYZ. K sestrojení osy afinity budeme potřebovat dva body a jejich obrazy. Jeden bod získáme pomocí bodů X, Y. Obrazem přímky XY v osové afinitě je přímka X'Y', protože obrazem bodu X je bod X' a bodu Y je bod Y'. Průsečíkem přímky XY a přímky X'Y' je samodružný bod P, který bude ležet na ose afinity.	Druhý bod osy získáme pomocí bodů Y, Z. Obrazem přímky YZ je přímka Y'Z', protože obrazem bodu Y je bod Y' a bodu Z je bod Z'. Průsečíkem přímky YZ a přímky Y'Z' je samodružný bod Q, který bude ležet na ose afinity.
Pomocí bodů P, Q již můžeme sestrojit osu afinity o.	Při sestrojení obrazu válce ve volném rovnoběžném promítání jsme se v Úloze 2b v kapitole o podstavách naučili sestrojit obraz kruhu pomocí opsaného čtverce, jehož obrazem je rovnoběžník K'L'M'N' a obrazem kružnice je elipsa. K sestrojení elipsy, která je průsečnicí pláště daného tělesa, resp. válcové plochy a roviny řezu, nám stačí pět bodů, pokud používáme program, který jí umí vykreslit. My si zde naznačíme, jak ji načtrtnout na papíře. K tomu využijeme rovnoběžník K'L'M'N' opsaný podstavě tělesa a nalezneme jeho vzor, který bude opsaný hledané elipse, jejíž část je řezem tělesa. Body U', V' jsou vrcholy elipsy v podstavě a v nich se mění její viditelnost.
Body X, Y, Z, které určují rovinu řezu, jsou body průsečnice, protože leží na povrchu válce. Další bod získáme pomocí bodů X, X' a U', kde bod X' je obraz bodu Xv dané afinitě. Bodem U' vedeme rovnoběžku se směrem afinity. Bod T je průsečík přímky X'U' s osou o. Vzorem přímky X'U' je přímka XT a tedy průsečík přímky XT s rovnoběžkou se směrem s v bodě U' je bod elipsy U.	Další bod získáme pomocí bodů Z, Z' a V', kde bod Z' je obraz bodu Z. Bodem V' vedeme rovnoběžku se směrem afinity. Bod W je průsečík přímky Z'V' s osou o. Vzorem přímky Z'V' je přímka ZW a tedy průsečík přímky ZW s rovnoběžkou se směrem s v bodě V' je bod elipsy V.
Nyní nalezneme vzor rovnoběžníku, který je opsán podstavě tělesa. Využijeme k tomu body dotyku A', B', C', D' podstavy a rovnoběžníku a jejich vzory. Bod A získáme pomocí bodů X, X' a A', kde bod X' je obraz bodu X. Bodem A' vedeme rovnoběžku se směrem afinity. Bod R je průsečík přímky X'A' s osou o. Vzorem přímky X'A' je přímka XR a tedy průsečík přímky XR s rovnoběžkou se směrem s v bodě A' je bod elipsy A.	Bod B získáme pomocí bodů X, X' a B', kde bod X' je obraz bodu X. Bodem B' vedeme rovnoběžku se směrem afinity. Bod S je průsečík přímky X'B' s osou o. Vzorem přímky X'B' je přímka XS a tedy průsečík přímky XS s rovnoběžkou se směrem s v bodě B' je bod elipsy B.
Obdobně jako body A, B nalezneme bod C (pomocí bodů X, X' a C') a bod D (pomocí bodů X, X' a D').	Dále sestrojíme vzor strany K'L' rovnoběžníku opsaného podstavě tělesa. Bod E je průsečík přímky K'L' s osou o. Vzorem přímky K'L' je přímka AE. Vzor strany K'L' leží na přímce AE.
Dále sestrojíme vzor strany L'M' rovnoběžníku opsaného podstavě tělesa. Bod F je průsečík přímky L'M' s osou o. Vzorem přímky L'M' je přímka BF. Vzor strany L'M' leží na přímce BF.	Obdobně sestrojíme vzory ostatních stran rovnoběžníku opsaného podstavě tělesa.
Již můžeme vyznačit rovnoběžník, který je opsaný hledané elipse, která je průsečnicí pláště daného tělesa a roviny řezu, a který je vzorem rovnoběžníku opsaného podstavě.	Nyní známe všechny potřebné body k sestrojení elipsy, která je průsečnicí pláště daného tělesa a roviny řezu a také body dotyku hledané elipsy a jí opsaného rovnoběžníku.

Nejprve musíme najít osu afinity, která je průsečnicí roviny dolní podstavy a roviny řezu dané body XYZ. K sestrojení osy afinity budeme potřebovat dva body. Bod X náleží oběma rovinám, je samodružný a leží tedy i na hledané ose afinity. Druhý bod získáme pomocí bodů Y, Z. Obrazem přímky YZ v zadané osové afinitě je přímka Y'Z', protože obrazem bodu Y je bod Y' a bodu Z je bod Z'. Průsečíkem přímky YZ a přímky Y'Z' je samodružný bod P, který bude ležet na ose afinity.	Pomocí bodů X, P již můžeme sestrojit osu afinity o.
K sestrojení elipsy, která je průsečnicí pláště daného tělesa a roviny řezu, nám stačí pět bodů, pokud používáme program, který jí umí vykreslit. My si zde naznačíme, jak ji načtrtnout na papíře. K tomu využijeme rovnoběžník opsaný podstavě tělesa a nalezneme jeho vzor, který bude opsaný hledané elipse, jež je částí řezu. Bod U', Y' jsou vrcholy elipsy v podstavě a v nich se mění viditelnost.	Body X, Y, Z, které určují rovinu řezu, jsou body průsečnice, protože leží na povrchu válce. Osa afinity leží v rovině dolní podstavy tělesa a protíná hranici podstavy, proto průsečíky X, V osy afinity s hranicí dolní podstavy jsou body řezu.
Další bod získáme pomocí bodů Y, Y' a U', kde bod Y' je obraz bodu Y. Bodem U' vedeme rovnoběžku se směrem afinity. Bod T je průsečík přímky Y'U' s osou o. Vzorem přímky Y'U' je přímka YT a tedy průsečík přímky YT s rovnoběžkou se směrem s v bodě U' je bod elipsy U.	Nyní nalezneme obraz rovnoběžníku opsaného podstavě tělesa. Využijeme k tomu body dotyku A', B', C', D' podstavy a rovnoběžníku a jejich obrazy. Bod A získáme pomocí bodů Z, Z' a A', kde bod Z' je obraz bodu Z. Bodem A' vedeme rovnoběžku se směrem afinity. Bod R je průsečík přímky Z'A' s osou o. Vzorem přímky Z'A' je přímka ZR a tedy průsečík přímky ZR s rovnoběžkou se směrem s v bodě A' je bod elipsy A.
Bod B získáme pomocí bodů Z, Z' a B', kde bod Z' je obraz bodu Z. Bodem B' vedeme rovnoběžku se směrem afinity. Bod S je průsečík přímky Z'B' s osou o. Vzorem přímky Z'B' je přímka ZS a tedy průsečík přímky ZS s rovnoběžkou se směrem s v bodě B' je bod elipsy B.	Obdobně jako body A, B nalezneme bod C (pomocí bodů Z, Z' a C') a bod D (pomocí bodů Z, Z' a D').
Dále sestrojíme vzor strany K'L' rovnoběžníku opsaného podstavě tělesa. Bod E je průsečík přímky K'L' s osou o. Vzorem přímky K'L' je přímka AE. Vzor strany K'L' leží na přímce AE.	Dále sestrojíme vzor strany L'M' rovnoběžníku opsaného podstavě tělesa. Bod F je průsečík přímky L'M' s osou o. Vzorem přímky L'M' je přímka BF. Vzor strany L'M' leží na přímce BF.
Obdobně sestrojíme vzory ostatních stran rovnoběžníku opsaného podstavě tělesa.	Již můžeme vyznačit rovnoběžník, který je opsaný hledané elipse, která je průsečnicí pláště daného tělesa a roviny řezu, a který je vzorem rovnoběžníku opsaného podstavě.
Nyní známe všechny potřebné body k sestrojení části elipsy, která je průsečnicí pláště daného tělesa a roviny řezu a také body dotyku hledané elipsy a jí opsaného rovnoběžníku.

Stereometrie - afinita

Řezy válců

Úlohy