Notice: Use of undefined constant default_charset - assumed 'default_charset' in /srv/beegfs/web/web/kdm/diplomky/kristyna_jurczykova/osMezi/osAfinitaMrov.php on line 1
Definice
Jsou dány roviny α a β a směr s, přičemž roviny α i β nejsou rovnoběžné se směrem s.
Osová afinita mezi různoběžnými rovinami α a β je rovnoběžné promítání bodů roviny α do roviny β směrem s.
Průsečnice rovin α a β se nazývá osa afinity.
Osová afinita mezi rovinami α a β je určena osou afinity o a uspořádanou dvojicí různých bodů LL', kde L je libovolný bod roviny α neležící na ose afinity a L' je jeho obraz v rovině β.
Poznámky
Z definice vyplývá, že vlastnosti osové afinity mezi dvěma rovinami jsou stejné jako u rovnoběžného promítání.
Další vlastnosti
Využití
Osová afinita má široké využití, například v písmomalířství, deskriptivní geometrii a stavebnictví. My ji zde budeme využívat ke konstrukci řezů hranolů, kde rovina β je rovina řezu, rovina α je rovina stěny (nejčastěji podstavy) a s je směr bočních stěn, také ke konstrukci válců, kde rovina β je rovina řezu, rovina α je rovina podstavy a s je směr osy daného válce.
V následujících příkladech na osovou afinitu mezi rovinami α, β je vždy barevně vyznačena stěna ležící zadané rovině. Pokud jsou roviny zadány body neležících v jedné stěně tělesa, jsou barevně vyznačeny podstatné části rovin. Rovina α je vyznačena červenou barvou a rovina β oranžovou barvou.
Příklad 1
Je dána krychle ABCDEFGH a osová afinita mezi rovinami α a β určená osou o a uspořádanou dvojicí bodů LL', kde L α, L' β.
Najděte obraz bodu X roviny α v rovině β, jestliže α= CDG a β= ADE
Řešení
Postup si ukážeme po krocích.
Body L, X mohu vést přímku, která protne osu afinity v bodě P, který je samodružný. | Sestrojíme přímku, která prochází body L' a P a je obrazem přímky LX. Hledaný bod bude ležet na této přímce, a to díky zachování incidence. |
Sestrojíme promítací přímku bodu X se směrem LL'. | Obrazem X' bodu X je průsečík rovnoběžky a přímky L'P. |
Příklad 2
Mějme dánu krychli ABCDEFGH a roviny α= ABC a β= KLM, kde K, L, M jsou po řadě středy hran AE, BF, FG.
Najděte osu afinity mezi rovinami α a β.
Řešení
Průnik rovin α a β je osa afinity - přímka, která je množinou samodružných bodů. Při hledání osy afinity je tedy potřeba mít zadány dvě roviny, mezi kterými se zobrazuje, a směr afinity. Můžeme jej zvolit libovolně, ale různoběžně s rovinami afinity. Pro tuto úlohu vezměme směr kolmý na rovinu α, bod B je obrazem bodu L.
Řešení si ukážeme po krocích.
Obrazem přímky dané body LM je přímka BC, protože obraz bodu L je bod B a obraz bodu M je střed úsečky BC. | Průsečíkem přímky LM a přímky BC je samodružný bod P, který leží na ose afinity. |
Sestrojíme průsečík Q přímky AD a jejího vzoru. | Osa afinity prochází samodružnými body P, Q. |
1. Je dána krychle ABCDEFGH a osová afinita mezi rovinami α a β určená osou o a uspořádanou dvojicí bodů LL', kde bod L α a bod L' β. Najděte obraz bodu X, X α, jestliže:
a) α= BCG, β= ABC Řešení |
b) α= EHS, S je střed hrany BF, β= ABC Řešení |
2. Je dán šestiboký hranol ABCDEFGHIJKM a osová afinita mezi rovinami α a β určená osou o a uspořádanou dvojicí bodů LL', kde bod L α a bod L' β. Najděte obraz bodu X, X α, jestliže:
a) α= EFK, β= ABC Řešení |
b) α= GHI, β= ABJ Řešení |