Notice: Use of undefined constant default_charset - assumed 'default_charset' in /var/www/web/kdm/diplomky/kristyna_jurczykova/delPomer.php on line 1 Diplomová práce - Stereometrie


Stereometrie - afinita

Dělicí poměr

Nejdříve si zavedeme pojem dělicí poměr, který budeme dále využívat. Týká se každých tří různých bodů ležících na jedné přímce a jejich vzájemných vzdáleností.

Definice
Nechť A, B, C jsou tři libovolné různé kolineární body.
Dělicí poměr bodu C vzhledem k bodům A, B v daném pořadí je reálné číslo, jehož absolutní hodnota je rovna podílu |AC|:|BC|, a toto číslo:

Označení: (ABC).

Rozbor definice
V definici je dán předpoklad, že vezmeme tři různé kolineární body. Co by se stalo, kdyby nebyly různé? Rozeberme si jednotlivé případy.

Také je zajímavá otázka, zda dělicí poměr může nabývat hodnoty 1. Nemůže!
Mějme různé body A, B ležící na přímce, jako je na obrazku níže. Bod C zkusíme umístit na přímku tak, aby (ABC)=1. Dělicí poměr je kladný, bod C bude tedy ležet mimo úsečku AB. I když budeme bod C posouvat dále (viz šedé body na obrázku níže), dělicí poměr se bude zmenšovat, blížit k 1, ale nikdy nebude roven 1. To si také můžete vyzkoušet na apletu výše.
Posouvání bodu C
Z uvedeného vyplývá, že máme-li dva různé body A, B na dané přímce, pak polohy každého dalšího bodu C této přímky můžeme jednoznačně zadat dělícím poměrem (ABC).

Nyní si ukážeme příklady na dělicí poměr. V příkladech jsou použity obrázky, na kterých je znázorněna přímka a na ní příslušné body. Vzdálenost bodů snadno zjistíme z obrázku a to tak, že spočítáme úseky mezi body, které jsou oddělené puntíky; každý úsek má délku 1cm.

Příklad 1
Mějme dány body A, B, C ležící na přímce, jak je to naznačeno na obrázku níže. Určete dělicí poměr bodu C vzhledem k bodům A, B. (ABC) = ?

Řešení
Dělicí poměr bodu C vzhledem k bodům A, B je dán (až na znaménko) poměrem |AC|:|BC|. |AC| je vzdálenost bodů A, C a |BC| je vzdálenost bodů B, C.
|AC| = 3 cm; |BC| = 2 cm



Protože bod C leží na úsečce AB, dělicí poměr bude číslo záporné.
(ABC) = -|AC|:|BC| = -3/2

Příklad 2
Určete bod D na přímce AB tak, aby (ABD) = 3/4.

Řešení
Dělicí poměr bodu D vzhledem k bodům A,B je číslo kladné, tedy bod D bude ležet vně úsečky AB a to buď takto , nebo .

Dále z dělicího poměru víme, že vzdálenost bodu D od bodu A je 3 cm a vzdálenost bodu D od bodu B je 4 cm. Bod A je tedy blíže k bodu D, jako je to na druhém obrázku. Po nanesení přesných vzdáleností získáme tento výsledek: .


Úlohy

1. Z obrázku zjistěte dělicí poměr:
a) (ABC) = ?

(ABC) = -|AC|:|BC| = -2:2 = -1

Skryj výsledek
Zobraz výsledek

b) (ABD) = ?

(ABD) = |AD|:|BD| = 5:1 = 5

Skryj výsledek
Zobraz výsledek

c) (ACD) = ?

(ACD) = |AD|:|CD| = 6:4 = 3/2

Skryj výsledek
Zobraz výsledek

2. Na přímce znázorněte body A, B, C tak, aby platilo:


a) (ACB) = -2

Řešení vypadá takto:

Skryj výsledek
Zobraz výsledek

b) (BCA) = 4/3

Řešení vypadá takto:

Skryj výsledek
Zobraz výsledek

c) (ADB) = -3/2

Řešení vypadá takto:

Skryj výsledek
Zobraz výsledek

3. Z obrázku zjistěte dělicí poměry: (ABC), (ACB), (BAC), (CAB), (CBA).


(ABC) = |AC|:|BC| = 5/2
(ACB) = -|AB|:|CB| = -3/2
(BAC) = |BC|:|AC| = 2/5
(CAB) = -|CB|:|AB| = -2/3
(CBA) = |CA|:|BA| = 5/3

Skryj výsledek
Zobraz výsledek