Věty a tvrzení o spojitosti funkce

Věta:

Je-li funkce f spojitá v bodě a, pak

1. $D >0 tak, že f je omezená na U(a,D)

2. $D >0 $K>0 "x xÎU(a,D) Þ | f(x) | < K

3. je-li navíc f(a) > 0 pak $D >0 "x xÎU(a,D) Þ f(x) > f(a)/2

4. je-li navíc f(a) < 0 pak $D >0 "x xÎU(a,D) Þ f(x) < f(a)/2

5. je-li navíc f(a) ¹ 0 pak $D >0 "x xÎU(a,D) Þ f(x) ¹ 0

 

Účel věty: Funkce spojitá v bodě a má na okolí tohoto bodu zajímavé vlastnosti, které lze využít hlavně v důkazech.

 

Věta:

Jsou-li funkce f, g spojité v bodě a, pak

1. | f | je funkce spojitá v bodě a

2. f + g je funkce spojitá v bodě a

3. f - g je funkce spojitá v bodě a

4. f . g je funkce spojitá v bodě a

5. je-li navíc g(a) ¹ 0, pak i je funkce spojitá v bodě a

Myšlenka věty: Jsou-li funkce f a g spojité v bodě a, pak můžeme o součtu, rozdílu, součinu a podílu těchto funkcí prohlásit, že se jedná o funkci spojitou v bodě a.

 

Věta:

Je-li funkce g spojitá v bodě a a funkce f spojitá v bodě g(a), pak je složená funkce f ○ g spojitá v bodě a.

 

Myšlenka věty: Složením spojitých funkcí získáme opět spojitou funkci.

 

Věta Weierstrassova:

Je-li funkce f spojitá v uzavřeném intervalu áa,bñ, existuje alespoň jeden takový bod x1 Î áa,bñ, že pro všechna x Î áa,bñ platí f(x) £ f(x1), a alespoň jeden takový bod x2 Î áa,bñ, že pro všechna x Î áa,bñ platí f(x) ³ f(x2).

 

Myšlenka věty: Je-li funkce f spojitá v uzavřeném intervalu áa,bñ, pak nabývá v alespoň jednom bodě svého maxima a v alespoň jednom bodě svého minima.

 

Věta Bolzano-Weierstrassova:

Je-li funkce f spojitá v uzavřeném intervalu áa,bñ a f(a) ¹ f(b), potom ke každému číslu d Î ( f(a), f(b)), existuje alespoň jeden takový bod c Î (a,b), že f(c) = d. 

 

Myšlenka věty: Je-li funkce f spojitá v uzavřeném intervalu áa,bñ a f(a) ¹ f(b), pak nabývá v tomto intervalu všech hodnot mezi f(a) a f(b).

 

Věta:

Je-li funkce f spojitá v uzavřeném intervalu áa,bñ a mají-li čísla f(a) a f(b) různá znaménka, potom existuje alespoň jeden takový bod c Î (a,b), pro který f(c) = 0. 

 

Myšlenka věty: Je-li funkce f spojitá v uzavřeném intervalu áa,bñ a f(a).f(b) < 0, pak existuje alespoň jeden takový bod c Î (a,b), pro který f(c) = 0