Věta:
Je-li funkce f spojitá v bodě a, pak
1. $D >0 tak, že f je omezená na U(a,D)
2. $D >0 $K>0 "x xÎU(a,D) Þ | f(x) | < K
3. je-li navíc f(a) > 0 pak $D >0 "x xÎU(a,D) Þ f(x) > f(a)/2
4. je-li navíc f(a) < 0 pak $D >0 "x xÎU(a,D) Þ f(x) < f(a)/2
5. je-li navíc f(a) ¹ 0 pak $D >0 "x xÎU(a,D) Þ f(x) ¹ 0
|
Účel věty: Funkce spojitá v bodě a má na
okolí tohoto bodu zajímavé vlastnosti, které lze využít hlavně v důkazech.
|
Věta:
Jsou-li funkce f, g spojité v bodě a, pak
1. | f | je funkce spojitá v bodě a
2. f + g je funkce spojitá v bodě a
3. f - g je funkce spojitá v bodě a
4. f . g je funkce spojitá v bodě a
5. je-li navíc
g(a) ¹ 0,
pak i je funkce spojitá
v bodě a
|
Myšlenka věty: Jsou-li funkce f a g
spojité v bodě a, pak můžeme o součtu, rozdílu, součinu a podílu
těchto funkcí prohlásit, že se jedná o funkci spojitou v bodě a.
|
Věta:
Je-li funkce g spojitá v bodě a a funkce f spojitá v bodě g(a), pak je složená funkce f ○ g spojitá v bodě a.
|
Myšlenka věty: Složením spojitých funkcí získáme
opět spojitou funkci.
|
Věta Weierstrassova:
Je-li funkce f spojitá v uzavřeném intervalu
áa,bñ, existuje alespoň jeden takový bod x1 Î áa,bñ, že pro všechna x Î áa,bñ platí f(x) £ f(x1), a alespoň jeden takový bod x2 Î áa,bñ, že pro všechna x Î áa,bñ platí f(x) ³ f(x2).
|
Myšlenka věty: Je-li funkce f spojitá
v uzavřeném intervalu áa,bñ,
pak nabývá v alespoň jednom bodě svého maxima a v alespoň jednom bodě
svého minima.
|
Věta Bolzano-Weierstrassova:
Je-li funkce f spojitá v uzavřeném intervalu áa,bñ a f(a) ¹ f(b), potom ke každému číslu d Î ( f(a), f(b)), existuje alespoň jeden takový bod c Î (a,b), že f(c) = d.
|
Myšlenka věty: Je-li funkce f spojitá
v uzavřeném intervalu áa,bñ
a f(a) ¹ f(b),
pak nabývá v tomto intervalu všech hodnot mezi f(a) a f(b).
|
Věta:
Je-li funkce f spojitá v uzavřeném intervalu áa,bñ a mají-li čísla f(a) a f(b) různá znaménka, potom existuje alespoň jeden takový bod c Î (a,b), pro který f(c) = 0.
|
Myšlenka věty: Je-li funkce f spojitá
v uzavřeném intervalu áa,bñ
a f(a).f(b) < 0,
pak existuje alespoň jeden
takový bod c Î (a,b),
pro který f(c) = 0
|