Věta:

Je-li funkce f spojitá v bodě a, pak

1. $D >0 tak, že f je omezená na U(a,D)

2. $D >0 $K>0 "x xÎU(a,DÞ | f(x) | < K

3. je-li navíc f(a) > 0 pak $D >0 "x xÎU(a,DÞ f(x) > f(a)/2 > 0

4. je-li navíc f(a) < 0 pak $D >0 "x xÎU(a,DÞ f(x) < f(a)/2 < 0

5. je-li navíc f(a¹ 0 pak $D >0 "x xÎU(a,DÞ f(x¹ 0

 

Důkaz:

Add 1.

            Vyjdeme z definice spojitosti funkce v bodě. Zvolme e, e = 1. Pak

                        $D >0 "x xÎU(a,DÞ f(a) - 1 < f(x) < f(a) + 1

            Je tedy skutečně f omezená na U(a,D).

 

Add 2.

            S využitím předchozího bodu dostáváme

                        $D >0 "x xÎU(a,DÞ f(a) - 1 < f(x) < f(a) + 1

            Zvolme K, K = max(| f(a) - 1|,| f(a) + 1|). Pak platí

                        "x xÎU(a,DÞ | f(x) | < K, což jsme chtěli dokázat.

 

Add 3.

            Zvolme e, e = f(a)/2, e >0. Pak

                        $D >0 "x xÎU(a,DÞ f(a) - e < f(x) < f(a) + e

            což upravíme na

                        f(a)/2 < f(x) < 3f(a)/2

            Skutečně tedy $D >0 "x xÎU(a,DÞ 0 < f(a)/2 < f(x)

 

Add 4.

            Zvolme e, e = - f(a)/2, e >0. Pak

                        $D >0 "x xÎU(a,DÞ f(a) - e < f(x) < f(a) + e

            což upravíme na

                        3f(a)/2 < f(x) < f(a)/2 

            Skutečně tedy $D >0 "x xÎU(a,DÞ f(x) < f(a)/2

 

Add 5.

            Plyne z předchozích dvou bodů.

 

Konec důkazu.