|
Věta: Je-li funkce f spojitá v bodě a, pak 1. $D >0 tak, že f je omezená na U(a,D) 2. $D >0 $K>0 "x xÎU(a,D) Þ | f(x) | < K 3. je-li navíc f(a) > 0 pak $D >0 "x xÎU(a,D) Þ f(x) > f(a)/2 > 0 4. je-li navíc f(a) < 0 pak $D >0 "x xÎU(a,D) Þ f(x) < f(a)/2 < 0 5. je-li navíc f(a) ¹ 0 pak $D >0 "x xÎU(a,D) Þ f(x) ¹ 0 |
Důkaz:
Add 1.
Vyjdeme z definice spojitosti funkce v bodě. Zvolme e, e = 1. Pak
$D >0 "x xÎU(a,D) Þ f(a) - 1 < f(x) < f(a) + 1
Je tedy skutečně f omezená na U(a,D).
Add 2.
S využitím předchozího bodu dostáváme
$D >0 "x xÎU(a,D) Þ f(a) - 1 < f(x) < f(a) + 1
Zvolme K, K = max(| f(a) - 1|,| f(a) + 1|). Pak platí
"x xÎU(a,D) Þ | f(x) | < K, což jsme chtěli dokázat.
Add 3.
Zvolme e, e = f(a)/2, e
>0. Pak$D >0 "x xÎU(a,D) Þ f(a) - e < f(x) < f(a) + e
což upravíme na
f(a)/2 < f(x) < 3f(a)/2
Skutečně tedy $D >0 "x xÎU(a,D) Þ 0 < f(a)/2 < f(x)
Add 4.
Zvolme e, e = - f(a)/2, e >0. Pak
$D >0 "x xÎU(a,D) Þ f(a) - e < f(x) < f(a) + e
což upravíme na
3f(a)/2 < f(x) < f(a)/2
Skutečně tedy $D >0 "x xÎU(a,D) Þ f(x) < f(a)/2
Add 5.
Plyne z předchozích dvou bodů.
Konec důkazu.